李增明,黄莉茸

(暨南大学信息科学技术学院数学系,广东广州 510632)

两粒子的Vlasov-Maxwell-Boltzmann方程组中一个算子的紧性证明

李增明,黄莉茸

(暨南大学信息科学技术学院数学系,广东广州 510632)

本文主要研究紧算子在Vlasov-Maxwell-Boltzmann方程组中的应用的问题.利用紧算子的定义,获得了描述不同质量两粒子模型的线性Boltzmann算子的一个紧性结果.

赋范空间;紧算子;Vlasov-Maxwell-Boltzmann方程组;Boltzmann碰撞算子

1 引言

本文研究带不同质量两粒子线性Boltzmann算子的性质.这类线性算子在Vlasov-Maxwell-Boltzmann模型中有着重要的应用.Vlasov-Maxwell-Boltzmann方程组是分子动理学理论中一类常见的方程组,可以用来描述弱电离化的等离子体中各种粒子比如说离子和电子的动力学行为[19].对于两族的不考虑物理参数如粒子质量、电量等的Vlasov-Maxwell-Boltzmann方程组的经典解的存在性以及大时间行为的研究已经取得了很多重要的成果,见Guo[16]、Strain[24]、Duan-Strain[13]、Duan-Lei-Yang-Zhao[12]、Lei-Zhao[23]、Ha-Xiao-Xiong-Zhao[17]等在碰撞核截断情形的工作,以及Duan-Liu-Yang-Zhao[11]、Fang-Lei[15]等在碰撞核非截断情形的工作.我们知道带正电的离子和带负电的电子其质量一般相差较大,因此从物理角度来讲,Vlasov-Maxwell-Boltzmann方程组应该考虑两种粒子的质量的影响,注意到Duan-Liu[10]以及Huang-Liu[18]近期关于带不同质量的Vlasov-Poisson-Boltzmann方程组的非平凡解稳定性的研究工作,证实了两种粒子质量不同,所遇到的困难会更大.因此对带不同质量两粒子线性Boltzmann算子的研究具有深刻的意义.此外,还注意到Boudin-Grec-Pravic-Salvarani[8]最近研究了多族的在整体Maxwellian附近的线性Boltzmann算子的紧性性质,本文讨论来源于Vlasov-Maxwell-Boltzmann方程组由两流体分解得到的在局部Maxwellian附近的线性Boltzmann算子的性质.

2 紧算子

在这里先对紧算子的相关定义、性质及其一些判别准则做一个整理和总结.紧算子的相关等价定义

定义2.1[1]设X、Y是赋范线性空间,若算子T:X→Y将X中任何有界集映成Y中的列紧集,则称T是紧算子.如果紧算子T还是线性算子,则称T为紧线性算子.

定义2.2[2]设X,Y是Banach空间,设T:X→Y线性;称T是紧算子,如果在Y中是紧集,其中B1是X中的单位球.

定义2.3[3]设T是赋范空间X上到赋范空间Y中的线性算子,如果对X中任意有界集M,为Y中紧集,称T是紧算子.

定义2.4[4]设T:D⊂X→Y是一连续映射,若对任意有界序列{xn}⊂D,Txn恒有收敛子列,则称T为紧算子或紧映射.

由定义不难证明,紧算子的下列性质

引理2.5[1]设T:X→Y是线性算子,则下述条件相互等价

(1)T是紧算子;

(2)T把X中的单位球映成Y中的列紧集;

(3)对X中任何有界点列{xk},{Txk}存在收敛子列.

引理2.6[2]设X,Y是赋范空间,T∈B(X,Y),B(X,Y)是X到Y的有界线性算子空间,如果T是紧算子,则T把X中的弱收敛点列映为Y中的强收敛点列.

下面给出三个判别紧算子的准则和方法.

引理2.7[3]设{Tn}是赋范空间X上到Banach空间Y中的紧算子列且按范数收敛于算子T,则T也是紧算子.

引理2.8[4]设Ω∈Rn是一个可测集,又设K∈L2(Ω×Ω),则

是L2(Ω)上的紧算子.

引理2.9[5]假设K(u,v)≥0为u,v的函数,设这里其中n为正整数.若

则T在L2上是紧的.引理的证明在参考文献[9]中已给出,这里证明略去.

3 Vlasov-Maxwell-Boltzmann方程组K算子的紧性证明

在弱电离化的等离子体中,带正电的离子和带负电的电子的动力学行为可以用如下Vlasov-Maxwell-Boltzmann方程组来刻画(见文献[16,19])

其中电场E和磁场B满足Maxwell方程组

这里Fi=Fi(t,x,ξ)≥0,Fe=Fe(t,x,ξ)≥0可分别看作离子和电子的密度函数,x和ξ分别表示离子和电子的空间位置和速度,(t,x,ξ)∈(0,∞)×R3×R3.mi,Ze分别表示离子的质量和电量,而me,−e分别表示电子的质量和电量.

(3.1)式中Qαβ(·,·)(α,β ∈{i,e})是Boltzmann碰撞算子,这里取如下硬球模型的非对称形式

由此易知

为方便起见,将方程组(3.1)写成如下向量形式

这里记

现在令

并称此形式为一个两流体分解,其中

为标准的麦克斯韦分布,这里kα=kB/mα,kB为Boltzmann常数,nα,u,θ分别表示α-粒子的宏观密度、速度和温度.具体来讲,(3.7)式中的[ni,ne,u,θ](t,x)由下式确定

其中ψ0i,ψ0e和ψj,j=1,2,3,4,是六个碰撞不变量,有如下形式

进一步可验证

和

对α≠β(β∈{i,e})成立.对于(3.7)式中定义的Mα,有

引理3.1设Mα定义如(3.7)式,则

证将(3.7)式代入(3.3)式,再利用(3.4)式即可得(3.10)式.现将F的两流体分解(3.6)代入(3.5)式可得

这里

注意到定义式(3.3),记

其中Qgainαβ和Qlossαβ分别称为“增益项”和“亏损项”,B=|(ξ−ξ∗)·ω|.由(3.11)式,可作如

下分解

其中

这里

现在记

下面将证明K是某个Hilbert空间上的紧算子,为此先引入加权L2空间,规定f∈当且仅当下面是本文的主要结论.

定理3.2设K的定义如(3.13)式,则K是到的紧算子.

证现在证明K是紧算子,即证明是紧算子,事实上只需要证明是紧算子,为紧算子同理可证.证明分以下四部分:

1°易知

再结合引理2.2[4]可知显然是上的紧算子.

2°现证明为紧算子.对算子,注意到

令V=ξ∗−ξ,设ω⊥⊥ω,有V=ω(ω ·V)+ω⊥(ω⊥ ·V),且

从而变量替换ω→ω⊥意味着基于此令从而可化简为

接着作变量替换V=ξ∗−ξ,可得

进一步设V=υ+W,这里υ=(V·ω)ω,W=(V−(V·ω)ω),则有dV=2dWd|υ|,并且

再由ξ∗=υ+W+ξ,ξ′=ξ+υ,可将改写为

这里Π={υ}⊥,在推导上式中还用到了

为计算(3.16)式,令η=ξ+υ,此时有

这里

将(3.18)式代入(3.17)式可得

利用引理2.2[5]可证为紧算子,具体证明可见文献[8,9].

3°K3i的证明要更复杂,这里先证明为紧算子.

现在令ξ∗−ξ=V=υ+W,其中υ=(V·ω)ω,W=V−(V·ω)ω,则有

现在计算

再次利用引理2.2[5]可知为紧算子.

4°现在证明是紧算子.与的证明一样,为了证明是紧算子,首先要将化为一个更加简洁的形式,为此先引入下面引理.

引理3.3存在b＞0对任意的i,e满足mi≠me及任意的ξ,ξ∗∈R3和ξ′,ξ′∗有

证现在对此引理给出证明,选择mi≠me,进行变量变换(ξ−u,ξ∗−u,ξ′−u,ξ′∗−u)→(ξ,ξ∗,ξ′,ξ′∗):

可化为

这里I3是3×3单位矩阵.由(3.24)式可以得到

为表达简便,记

把(3.25)式代入(3.23)式又可得到

现在考虑如下的分块矩阵

通过计算有detA=1且A−1=A,则有

事实上(3.22)式是通过找下面这个式子的下界得到的

且其是关于ω的正函数并有这就证明了引理3.2.

综合上述可证明积分算子K为紧算子.

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A PROOF OF COMPACT OPERATOR OF THE TWO SPECIES VLASOV-MAXWELL-BOLTZMANN EQUATIONS

LI Zeng-ming,HUANG Li-rong
(Department of Mathematics,School of Information Science and Technology,Jinan University,Guangzhou 510632,China)

In this paper,we mainly investigate an application of compact operators to the Vlasov-Maxwell-Boltzmann equations.By using the de finition of compact operators,we prove a compactness result of the linear Boltzmann operator of a two species model with different mass.

normedspace;compactoperator;Vlasov-Maxwell-Boltzmannequations;Boltzmann collision operator

35Q20;35Q79

O175.4

A

0255-7797(2017)06-1317-11

2016-10-14接收日期:2017-02-16

国家自然科学基金资助(11471142).

李增明(1992–),男,广东广州,硕士,主要研究方向:偏微分方程.