山东省泰安市宁阳第一中学 刘才华 (邮编:271400)

一道向量试题的多解与变式

山东省泰安市宁阳第一中学 刘才华 (邮编:271400)

2017年新课标全国III卷第12题(压轴选择题):

在矩形ABCD中,AB＝1,AD＝2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上,若,则λ＋μ的最大值为( )

下面我们首先给出几种不同的解法,然后再给出试题的几种不同的变式．

思路一利用解析法和三角换元,利用三角函数的有解性求出λ＋μ的最大值．

图1

解法1如图1,以点A为原点,以直线AD、AB为x轴,y轴建立直角坐标系．

由题意,得A(0,0),B(0,1),C(2,1),D(2,0),直线BD的方程为,即x＋2y－2＝0．点C(2,1)到直线BD的距离为d＝从而圆C的方程为

思路二由条件产生λ、μ的关系式,利用方程有解的条件求出λ＋μ的最大值．

图2

解法2如图2,设圆C与直线BD相切于点Q,由×BC×CD＝1得由得由AB＝1,AD＝2及AB⊥AD得

设λ＋μ＝k,则λ＝k－μ,代入(λ－1)2＋得

25μ2－(10k＋30)μ＋5k2－10k－21＝0．由关于μ的一元二次方程有解得△＝(10k＋30)2－100(5k2－10k－21)≥0,即(k－1)(k－3)≤0,1≤k≤3,于是λ＋μ的最大值为3．将k＝3代入上面的代数式得到取最大值的条件为λ＝．故选A．

思路三由条件产生λ、μ的关系式,利用柯西不等式求出λ＋μ的最大值．

解法三如图2,同解法2,得到λ、μ的关系式．注意到λ＋μ＝1×,由柯西不等式得所以λ＋μ的最大值为3,当且仅当,即时取等号．故选A．

思路四对于选择题,解决方法可以“不择手段”．本题可以通过特殊点进行计算排除验证．

图3

解法4如图3,同解法1,得到圆C的方程为设圆C与直线BD相切于点Q,由CQ⊥BD及kBD＝得直线CQ的方程y－1＝2(x－2),即y＝2x－3．联立得25x2－100x＋96＝

若将题目条件“AB＝1,AD＝2”改为“AB＝a,AD＝b”,其它条件不变,λ＋μ有没有最值?得到如下0,解得．当时对应点此时,则,有λ＋μ＝3．由此排除答案B、C、D．故选A．

对试题进行进一步地思考,λ＋μ有没有最小值?得到如下

变式1在矩形ABCD中,AB＝1,AD＝2,动点

读者可以利用解法1或解法2的过程得出变式1的结论．

题目条件不变,λ－μ有没有最值?得到如下

变式2在矩形ABCD中,AB＝1,AD＝2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上,若,则λ－μ的最小值为－1,最大值为1．

证明如图1,同解法1,以点A为原点,以直线AD、AB为x轴、y轴建立直角坐标系．由题意得A(0,0)、B(0,1)、C(2,1)、D(2,0),得到圆C的方程为

变式3在矩形ABCD中,AB＝b,AD＝a,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上,若,则λ＋μ的最小值为1,最大值为3．

证明如图1,同解法1,A(0,0),B(0,b),C(a,b),D(a,0),得到圆C的方程为(x－a)2

若将题目条件“AB＝1,AD＝2”改为“AB＝a,AD＝b”,其它条件不变,λ－μ有没有最值?得到如下

变式4在矩形ABCD中,AB＝a,AD＝b,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上,若,则λ－μ的最小值为－1,最大值为1．

读者可以利用变式2和变式3的证明给出变式4的证明．

若将题目中的平面图形推广到空间长方体,得到如下

变式5在长方体ABCD－A1B1C1D1中,AB＝a,AD＝b,AA1＝c,动点P在以点C1为圆心且与平面CB1D1相切的球面上,若,则λ＋μ＋δ的最小值为2,最大值为4．

变式5的证明需要用到如下

引理1若四面体P－ABC满足PA＝a,PB＝b,PC＝c,PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,PH⊥平面ABC于点H,则PH＝

引理可以通过构造直角三角形,利用勾股定理给出证明,这里从略．

引理2若f(x)＝asinwx＋bcoswx,a,b为常数,则

引理2容易证明,这里从略．

证明以点A为原点,以直线AB,AD,AA1为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系．

由 题 意 得 A(0,0,0)、B(a,0,0)、D(0,b,0)、A1(0,0,c)、C1(a,b,c)．由引理1得球面C1的方程为 (x－a)2＋ (y－b)2＋ (z－c)2＝

同理证明λ＋μ＋δ的最小值为2．

通过对上述试题的研究,启发我们在平时数学教学时,要结合具体内容,做好一题多解和一题多变的训练,提高学生学习数学的兴趣,有效地避免题海战术．通过加强一题多解训练,培养学生的发散性思维,引导学生利用不同的角度,不同的方法和不同的运算去分析解答同一道试题,起到了“举一反三”的作用;通过加强一题多变训练,借题发挥,适当变换、引申、拓展,加强不同知识间的横向和纵向联系,培养学生的合情推理和逻辑推理能力,开阔学生的学习视野,培养和发挥学生解题的灵活性和创造性．

2017-08-08)