广东省佛山市南海中学 周鸿高 (邮编:528211)

从一道复数试题说开去

广东省佛山市南海中学 周鸿高 (邮编:528211)

1 试题重现

我校2018届高二下学期中段考试理数命制了这样一道复数试题:

题13已知z－|z|＝－1＋i,则复数z＝________________．

本题是一道基础题,主要考查复数及其模的概念、复数相等的条件以及复数的运算．其正确的解答为:设z＝a＋bi(a、b∈R),则|z|＝,代入整理得＋i,所以解得a＝0,b＝1,所以z＝i．即填i．

从解答过程可以看出,运算简单,试题基础,是一道送分题,命题者预设得分率将会高达0．95以上．但考试结果却让我们大跌眼镜．笔者教学两个班级,一个班额58人,是年级理科平行班;一个班额44人,是年级理科重点班;两个班级共计102名考生参加本次考试,本题答题情况与得分情况如下:

班别考生数______________________________答 题_情_况i－1 2＋1 2 i空白1＋i 其他平均得分(本题5分)得分率220班 5814 25 6 4 9 1．210．24 221班 4415 21 2 1 5 1．700．34合计__102_29________46__________________________________85_141．420．28

笔者所教的两个班级,本题合计平均得分仅为1．42分,得分率低至0．28,与送分题的定位形成巨大的反差．更不可思议的是,多达46人填写了错误答案我们几个老师竟然不知道是怎么得到的．后来请教了一名填写这个错误答案的考生,她是这样解答的:

设z＝a＋bi(a、b∈R),则|z|＝|a|＋|b|i,代入整理得a－|a|＋(b－|b|)i＝－1＋i,所以解得,所以z故填

当学生写完这个错误的解答过程后,笔者愈发百思不得其解:为什么学生会认为|z|＝|a|＋|b|i,笔者清楚地知道,在整个复数的教学过程中,从来没有出现过这样的表示．不管是课本里,还是课堂上,都清晰地描述:|z|＝,称为复数的模．当笔者问这个学生为什么会认为|z|＝|a|＋|b|i时,她的回答是:不知道哦,z 不是表示绝对值吗?

绝对值?!不就有|z|＝z或－z吗?本题只能|z|＝－z,于是就有z－|z|＝2z＝－1＋i,所以故填

这应该是错误答案的正确解答过程．笔者原来还以为正确答案是i,过于简单,考生不相信,所以另外计算出复杂的答案,以保证正确率．但就是想不出如何计算出的错误结果．而上述的解答过程让笔者的想法再次反转:考生根本就没算出答案i,或者是怕代入计算麻烦,或者是根本就没想起复数的模,而是绝对值,如此处理更加简捷,答案又不奇葩．这从还有27人填写其他的答题情况可以看出,应该有些考生在处理的计算时出现错误．

2 考后反思

每次测试过后,老师和学生都会进行考后反思,主要做两样事情:一是分析结果的成因,二是提出改进的设想．

2．1 这是谁的错?

如此一道送分题,结果与预设背道而驰,其成因值得深思．笔者回忆复数的整个教学过程,清晰地描述过复数的模的涵义与符号记法,并就教材习题进行了练习．本题结合复数的加减运算与复数相等命制试题,笔者在教学复数运算的时候,因为课时紧张,只解决教材上的习题．而教材习题没有涉及复数的模与运算结合,所以考试之前没有做过类似的习题．这样看来,是否可以归结为老师的疏忽造成的后果,这是老师的错．如果能及时进行相关练习,就能避免错误的产生．事实未尽是如此．可以看看本次测试的第1题及其答题情况:

题1复数的虚部是( )

班别 考生数___________________________________答题情况__________________________________________________________A_BC__D得分率220班 58 14 38 1 5 0．65 221班 44 6 37 0 1 0．84__合计______102______20_________________________________75_1_6_0．73

本题的答题情况同样让人吃惊．笔者在整个复数教学过程,每节课都特意说明复数的实部和虚部,介绍复数的概念时,更是通过好多个实例让学生说出实部与虚部．如此的重复强调,依旧结果惨烈．这样看来,是否可以归结为学生的心不在焉、不落实造成的后果,这是学生的问题．笔者再次到位询问学生,是什么原因导致选择错误答案?一部分学生的回答是:计算出后,看到A选项有就选了,没留意到是否有i,以为是数字的区别．同样的心思可以在本次测试的第9题及其答题情况再次佐证:

题9设f(x)是定义在R上的奇函数,在(0,＋∞)上有xf′(x)＋f(x)＞0,且f(2)＝0,则不等式xf(x)＜0的解集为( )

A．(0,2) B．(－∞,－2)∪(0,2)

C．(－2,0)∪(0,2) D．(－∞,－2)∪(2,＋∞)

班别 考生数___________________________________答题情况__________________________________________________________A_BC__D得分率220班 58 0 28 18 12 0．32 221班 44 0 14 28 2 0．64__合计______102________0__________________________________42_46_14_0．45

考试之前,笔者评讲了周测上这样的一道试题:

练习12设f(x)是定义在R上的奇函数,在 (0,＋∞)上有xf′(x)＋f(x)＞0且f(－2)＝0,则不等式f(x)＞0的解集为( )

A．(0,2) B．(－∞,－2)∪(0,2)

C．(－2,0)∪ (0,2) D．(－2,0)∪ (2,＋∞)

结果考生在考试时一看到上面试题,根本没有推理运算,就直接选B或D答案(选B是因为结构类似,选D是因为位置相同)．这样看来,是否可以归结为试题的类似给考生投机取巧的机会造成的后果,是命题者的故意为之,是试题的错．我们可能会因此责怪学生,学得太死了．那是从测试结果不理想得到的结论．如果因此而很多考生选择正确答案(比如试题命制成正确答案为B选项的形式),我们可能就认为学生学会了,或者有较高的考试技巧．

通过上面分析,考生之所以解答本道试题极不理想,其本质原因在于对符号 z 没有正确理解．因为不理解,所以没练过就无法做对;因为不理解,所以即使有印象也想不起来;因为不理解,所以如果有练过,类似题会做,稍微变化一样做错．

2．2 改进的做法．

数学学习是需要做题的,并且做题需要有数量和时间保证的．数量保证不是说题量越多越好,而是题型要全面,涉及的知识点、考点要到位,不能只是简单的重复．用于练习巩固的习题可以通过变式以题组的形式布置给学生,引导学生理解相关考点如何以试题的形式呈现,逐渐学会正确分析理解题意,及时找到正确的解题思路与方法,才能有效提高解题的正确率．时间保证不是说必须投入很多的时间在数学学习上,现实是不可能做到的．学生学习任务繁重,除了数学还有其他学科,而时间是有限的,如果在数学学习上花更多的时间,势必减少其他学科的学习时间,影响其他学科的成绩．时间保证是指如何在有限的数学学习时间内,保证学习的有效性．数学学习过程是需要大量思维活动的,所谓“消耗大量的脑细胞”．这就需要学生首先安排一个自我精神状态最好的时间段用于数学学习,一般位于整个学习时间的前半段为宜．其次在学习数学的时间里,要让脑子动起来,勤思考、多运算,不要一碰到不会的就问老师、就看答案、就放弃,经过自己努力把题目解答出来,可以快速的提高自己的解题能力,这也是学习数学的意义．

数学学习是需要考试的,考试的主要功能就是检验学习的效果．为了让考试能够更好的检验出真实的学习效果,必须提高命制试题的质量．比如考点的覆盖要全面,考查范畴的分布要均匀、比例适当,还有试题的放置心中有数、难易适合．如上述讨论的这道复数题,放置于填空题的第一题,定位为基础题、容易题,从命题者的角度看,是适当的．然后考试情况让人大跌眼镜,容易题竟成了难题．再次阅读本道试题,似乎有值得商榷的细节:z是复数,是在后面才出现,也许学生看到z－|z|,理所当然就得到z－|z|＝z－(－z)＝2z,错误不自觉产生而无察觉．如果改为:已知z是复数,满足z－|z|＝－1＋i,则z＝______．是否情况会好一些呢?一份高质量的试题,需要千锤百炼,是提高检验信度的有效做法．

3 思过遐想

一道定位容易的试题考成了一道难题,毫无疑问这是一次“教学事故”．但是“事故”的程度有多大?“事故”对我们的教育教学有何反思与启发呢?笔者遐想了一番,向同行们赐教．

3．1 不着急

教育与学习是急不来的．本次测试之所以考生会在“阴沟里翻船”,除了主观因素之外,笔者认为时间仓促是重要的客观因素．考试之前仅用四个课时完成复数内容的学习,没有练习、消化、巩固的过程．而复数虽说是实数的扩充,相关知识与实数大同小异,却有不少知识似是而非．对这些不同的接受需要改变固有的认知,才能理解到位,是需要时间的,是需要通过错误来进行警醒的．教育也是一样．我们都清楚的知道,很多学生的学习不理想,大都是源于不良的学习习惯．老师们也费了很大力气、花了很多时间试图改善他们的不良学习习惯,可是往往收效甚微,搞得一些老师心急如焚,感叹“怎么就不开窍呢?”“冰冻三尺非一日之寒”,如果说教育是个改善不良习惯的过程,那教育必须得慢下来,教育工作是需要耐心的．

3．2 要磨炼

学习是需要过程的,这个过程是用来磨炼的,不是用来等待的．本次测试还有一道试题让笔者印象深刻:

题22已知函数R)在x＝1处的切线方程为(b∈R)．

(1)求a、b的值;

略解(1)a＝b＝－1;

函数与导数题具有题型多样,综合性强,解题没有套路等特点,常常被命制成压轴题．能把这种试题做好的考生都是数学尖子生,并且需要在平时坚持做题．笔者意识到这一点,有针对性地灌输了一些解题意识,并时常布置一些习题给学生见识、尝试解答．本次测试之前,笔者刚好布置了如下一道练习:

练习设函数,曲线y＝f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2．

(1)求a、b的值;

(2)证明:f(x)＞1．

略解(1)a＝1,b＝2;

可以发现,两道题是一模一样的,笔者所选的练习题出自2014年新课标全国卷I理21题．照理,如此的“猜题成功”(测试题不是笔者命制,笔者也不知题)应该可以让考生在压轴题上“威武一番”吧,事实却是“涛声依旧”．本题笔者所教的重点班平均分仅为2．3分,没有考生能够解答出全题．这说明即使我们给时间给练习,也未必能达到应有的效果．学习是需要磨炼的．教育也如此,我们的苦口婆心收效甚微,我们的耐心极限逐渐趋近．因为学生没有碰到挫折,没有经历深刻的触动内心的教训,所以他们不改无所谓．所谓没磨炼,不成材,由此可见一斑．

3．3 路漫漫

给予时间,经历磨炼,就能学得好、考得好、做得好吗?仍然未必．立体几何题学习了向量法后有着固定的解题套路,成了考试的稳定得分点．为了让学生保持做题的感觉,平时的持续性练习是老师的“惯用伎俩”,且练习不会是单纯的重复,会有各种刁钻冷僻的命制点出现,让学生经历磨炼,以达到确实掌握的目的．也许命题者深知老师们平时的套路,或许想检验同学们的磨题效果如何,本次测试的立体几何题显然是花了心思命制的:

题20在右图所示的六面体中,面ABCD是边长为2的正方形,面ABEF是直角梯形,∠FAB＝90°,AF//BE,BE＝2AF＝4．

(1)求证:AC//平面DEF;

(2)若二面角E－ABD为60°,求直线CE和平面DEF所成角的正弦值．

这样的一道试题,考试结果不理想是可以预知的,但整个年级平均分仅为2．9分,就大出乎意外了．说明即使给予了时间,经历了磨炼还是不够的,还要有持续性．教育也一样,“吃一堑长一智”对部分人而言也只是暂时的,他们可能是“吃一堑暂时长一智”或者“吃几堑才长一智”．如此看来,教育与学习是没有休止符的,即使是对旧的知识,已有的本领,已经改掉的毛病,都可能会遗忘,会生疏,会重犯．这是一条漫长的路,路漫漫,需要大家齐心协力,共同奋斗．

2017-06-26)