熊吕露， 王德禹

(1. 上海交通大学 海洋工程国家重点实验室， 上海 200240;2. 上海交通大学 高新船舶与深海开发装备协同创新中心， 上海 200240)

基于源汇分布法的浸水结构振动特性分析

熊吕露1, 2， 王德禹1, 2

(1. 上海交通大学 海洋工程国家重点实验室， 上海 200240;2. 上海交通大学 高新船舶与深海开发装备协同创新中心， 上海 200240)

提出了一个考虑线性波自由液面对浸水结构附连水质量影响的修正方法。基于源汇分布法应用伽辽金法获得线性波自由液面边界条件下虚拟点源位置及流体速度势的近似解，进而得到相应的附连水质量。以部分浸没悬臂板及某舰机舱双层底模型为研究对象，通过MATLAB程序计算它们的前三阶横向振动频率，计算结果分别与实验结果和有限元结果进行比较分析。结果表明该方法不仅可以较为准确地反应线性波自由液面对附连水质量的影响，尤其在结构浅吃水或低频振动的情况下修正效果更为明显，而且避免了求解大型动力学方程，提高了计算效率。

浸水结构； 源汇分布法； 自由液面； 附连水质量

浸水结构的振动问题一直以来都是研究的重点，由于浸水结构的附连水质量通常和结构自身的质量在一个量级上，对结构的振动影响很大，因此不能予以忽略。经过半个多世纪的发展，也取得了一定的进展[1]，总结下来一般求解方法分为三大类：解析法[2]，基于势流理论求解速度势的拉普拉斯方程，即初边值的偏微分方程问题，对于势流中的流体附加质量计算较为准确，但只能针对简单的结构，例如圆柱体，球体等，目前已经有成熟的解析法进行求解，可用于对其他计算方法进行校核；有限元方法，需对整个流体域进行建模求解，可以较为准确的模拟流场对结构的影响，从而计算结构的振动特性，适用于大型复杂结构的计算，但缺点是建模量大，计算机内存占用也大，效率较低；有限元-边界元法[3-5]，基于边界元的计算方法是将三维流场流体的动能转化到流场边界积分，避免了流体域的计算，大大降低了计算量，因此该方法在工程中的得到了广泛的应用。本文便是基于边界元法对浸水结构振动特性进行计算分析。

源汇分布法是边界元法中较为常用的求解速度势的方法，其中较为经典的Hess-Smith方法，将结构的湿表面分割为有限小单元，流体的运动则通过布置在结构湿表面的点源来反映。这样，可以将无限域流体的计算转化到结构湿表面每个单元块上进行。目前有限元分析软件NASTRAN中常用的虚拟质量法便是基于该方法求解计算的。

传统源汇分布法将自由液面边界上速度势视为零，这样自由液面对流域速度势的影响可以用简单格林函数进行描述，该方法计算简单、快速，但这仅对浸水结构高频振动计算较为准确，对于中低频振动，通常采用复杂格林函数求解，但复杂格林函数存在奇点积分问题，且计算复杂，耗时较长。为简单快速又能较为准确模拟线性微幅波自由液面边界条件的影响，本文在简单格林函数的基础上对自由液面边界条件进行修正，得到既可以简单求解又具有一定准确性的线性波自由液面边界条件下的浸水结构振动频率计算方法。为提高计算效率，对结构动力学方程进行解耦，用修正方法求解流体速度势，并用瑞利-李兹法求解结构在水中的固有频率，避免了求解大型动力学方程，提高了计算效率。

1 数值方法理论基础

1.1结构部分

无阻尼结构自由振动动力学方程：

(1)

基于振型叠加法，真空中结构振动位移为

(2)

式中：pr(t)为广义坐标;φr(x,y,z)为结构的r阶振型；m为截断模态阶数;φr(x,y,z)满足下式：

φr(x,y,z)TMφr(x,y,z)=Mr

(3)

φr(x,y,z)TKφr(x,y,z)=Kr

(4)

式中:Mr为结构r阶模态质量;Kr为结构r阶模态刚度;NASTRAN中对模态质量矩阵进行了归一化处理，即Mr=1，广义坐标pr(t)表示为

pr(t)=prsin(ωrt+θr)

(5)

将动力学方程解耦，得到：

(6)

对应r阶振动模态下结构的动能和势能分别为

(7)

(8)

式中:Tstr为结构动能;Vstr为结构势能;ωr为结构在真空中结构的r阶振动圆频率，结合式(7)、(8)，得到：

(9)

从而真空中结构的r阶固有频率为

(10)

式中,frdry为结构在真空中的固有频率。

1.2流体部分

假设流体为无限域、无黏、无旋、不可压缩的理想流体，r阶振动模态下的流体速度为

(11)

式中：Φr为r阶流体速度势，vr为流速。

Φr满足拉普拉斯方程：

(12)

速度势可表示为[6]：

Φr(x,y,z,t)=ωr·φr(x,y,z)·pr(t)

(13)

式中φr(x,y,z)为位移势，流体动能为

(14)

采用高斯公式将无限流域的积分转化到流固接触面上积分，得到流体动能表达式：

(15)

式中:S为流体边界；包括自由液面和流固接触面以及无穷远边界;n为流体边界的外法向方向，流固接触面边界条件为

(16)

因此，流体中结构的r阶固有频率为

(17)

式中：

(18)

Mflu为流体附连水质量系数，结合式(10)和式(17)，得到：

(19)

式中，frwet为结构在流体中的固有频率。

1.3位移势φr计算及修正方法

(20)

(21)

(22)

(23)

结合式(22)、(23)，得到：

(24)

式(24)即为线性微幅波自由液面的修正公式，可以看出d2与ωr有关，可采用经验公式对ωr进行初步估算，将估算ωr代入计算任意点源(汇)的虚拟汇(源)的位置，求解结构湿表面任意点位移势φr，对流固接触面进行单元划分，假设单元内的位移相等，结合以上假设，再将式(22)代入物面边界条件式(16)中，得到：

(25)

1.4计算流程

首先在有限元软件中划分单元并计算真空中结构的每一阶固有频率和振型，假设真空中的振型与流体中一致，以真空中的振型作为计算的初始振型。将初始振型导入MATLAB中，利用上述方法编制程序计算流体速度势，进而求解各阶模态的附连水质量系数，得到浸水结构的固有频率。为提高计算精度，可以考虑采用经验公式对附连水质量进行初步估算，得到估算的固有频率和振型，将该振形作为初始振型代替真空中的振型进行计算分析。采用该方法计算固有频率时忽略了其它阶振型对该阶固有频率的影响，各阶振型的相互耦合作用[8]很小，可以忽略。

2 部分浸没悬臂板数值计算结果

文献[9]中对不同吃水比的垂直悬臂板振动进行了实验测量，该悬臂板的长为1 016 mm，宽为203.3 mm，板厚为4.84 mm，杨氏模量为206.8 GPa，泊松比为0.3，板密度为7 830 kg/m3，流体密度为1 000 kg/m3。FEM计算将板网格划分为60×12共720个单元，部分浸没悬臂板模型，如图1所示。

图 1 悬臂板模型

计算时考虑四种不同浸没深度比(d/101 6= 0.25,0.5,0.75,1)，触水单元数分别为180,360,540,720，悬臂板的前3阶的横向振动频率计算结果,如表1所示。

表1 本文计算结果和实验结果比较

表1的结果表明，无论是修正前的计算结果还是本文修正后的计算结果与实验结果的误差都在10%以内，说明该方法计算的结果具有准确性。并且自由液面修正后的计算结果相对于改进前的计算结果更接近文献[9]实验结果，说明了该修正方法是可行的，并且修正效果在低阶固有频率时尤为明显，随着计算阶数增大，修正效果越来越弱，这个结论验证了高阶频率自由液面流体速度势假设的合理性。也说明该方法仅对低阶频率的修正有较好效果。结果还表明随着浸没深度比的降低，修正效果越来越显著，说明该方案的修正效果不仅和频率有关，也和吃水深度有关，则该修正方法适用于低阶，吃水不深的情况下，对于吃水很深或频率很高的情况则修正效果不明显，这时采用经典的源汇分布法计算就已经足够了，这是因为在吃水较深时式(24)修正后的虚拟点源和实际点源到自由液面距离很接近(d1≈d2)，修正效果不明显。结果还表明自由液面修正前后的计算结果与实验结果仍有一定误差，这是因为实验时存在壁面以及流体黏性等因素的影响，而本文计算时则认为流体为带自由液面的无黏无旋的无限域流场，以及真空中振型与流体中振型一致的假设。

现在考虑采用湿模态振型作为初始振型进行分析计算，两种初始振型下的结构固有频率计算结果,如表2所示。

表2 初始振型为湿模态振型和干模态振型结果对比

表2的结果表明初始振型为湿模态振型和干模态振型计算的低阶频率基本一致，但两者在结构高频振动下浸没深度比较小时计算结果有明显的差别，说明采用干模态振型代替湿模态振型计算适用于结构吃水较深或低频振动的情况下，否则应考虑采用湿模态振型进行计算分析。

下表3中列出了悬臂板在不同浸没深度比下每阶的附连水质量系数。

表3 悬臂板附连水质量系数计算结果

从表3的结果可以看出，不同浸没深度比下的每阶附加水质量系数均不相等，且呈现逐阶递减的趋势，且板的浸没深度越浅，附连水质量系数越小。可以看出，悬臂板在浸没深度比较大的情况下前三阶的附加水质量相差不大，这时可以认为前三阶的附加水质量近似相等，这样可以将第一阶的附连水质量作为结构的附连水质量去计算结构的低阶固有频率，计算的结果有一定的准确性，但这种做法也仅适用于结构在吃水较深时的低阶振动。

3 机舱双层底垂向振动数值计算结果

某舰机舱双层底模型如图2所示，结构材料和流体的参数与部分浸没悬臂板相同，计算该双层底结构在水下的垂向振动频率，由于机舱吃水较深，因此，以φr=0描述自由液面的边界条件是足够准确的，考虑到机舱双层底振动通常只关心前两阶模态，经过上述的讨论，采用干模态振型作为初始振型进行计算分析也是可行的。

图2 某舰机舱双层底模型

该机舱双层底模型吃水7.2 m，双层底模型单元由shell单元组成，主机和齿轮箱用质量点模拟，建模范围为一个主机舱再延伸了1个肋位，在舷侧、端部肋位以及纵舱壁在内底板的位置设置为简支边界，表4为采用上述方法计算的该机舱前3阶垂向振动固有频率结果以及采用虚拟质量法计算的结果对比。

表4的计算结果表明，采用本文方法与虚拟质量法的计算结果差别很小，说明采用本文方法计算大型复杂结构仍具有较好的准确性，并且采用本文方法计算每阶固有频率用时仅需数秒，具有很高的求解效率。

表4 机舱双层底固有频率计算结果

4 总 结

(1) 基于源汇分布法对线性微幅波自由液面边界条件进行了修正，提出一个可以快速准确计算浸水结构固有频率的修正方法，以悬臂板为研究对象，对不同浸没深度比下修正后的固有频率计算结果、修正前计算结果以及实验结果并进行了对比分析，表明修正后的计算结果比修正前更准确。分析了修正公式的适用条件，表明在浅吃水或结构低频振动的情况下修正效果较为明显。

(2) 分别采用真空中的干模态振型和流体中的湿模态振型作为初始振型计算悬臂板在不同浸没深度比下的固有频率，表明在吃水较深或振动频率较低的情况下可以采用干模态振型代替湿模态振型。

(3) 比较了悬臂板不同浸没深度比下前三阶模态的附连水质量系数，表明采用首阶模态的附连水质量作为结构的附连水质量对于结构在吃水较深时的低阶频率计算是可行的。

(4) 对某舰机舱双层底模型在较深吃水下进行了固有频率的计算分析，结果表明采用本文方法计算固有频率不仅具有准确性，而且可以快速地计算大型复杂结构，提高计算效率。

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Vibrationcharacteristicsofsubmergedstructuresbasedonsingularitydistributionmethod

XIONG Lülu1, 2, WANG Deyu1, 2

(1. The State Key Lab of Ocean Engineering, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China;2. Collaborative Innovation Center for Advanced Ship and Deep-Sea Exploration, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China)

A correction method considering the influence of linear free fluid surface on added water mass of a submerged structure was proposed here. Based on the singularity distribution method, the approximate solution to virtual point source locations and the fluid velocity potential was obtained under the linear free fluid surface boundary condition with Galerkin method, then the corresponding added water mass of a submerged structure was obtained. A partially submerged cantilever plate and a double-bottom model of a ship’s engine room were taken as study objects，their first three order lateral vibration frequencies were computed using Matlab. The calculation results were compared with those of tests and those of FEM. Results showed that the proposed method can more correctly reflect the influence of linear free fluid surface on added water mass, especially, the correcting effect of the method is more obvious under the condition of a structure’s shallow draft or low-frequency vibration; this method can avoid solving large type dynamic equations to improve the calculation efficiency.

submerged structure; singularity distribution method; linear free fluid surface; added water mass

财政部、教育部重大专项“船舶数字化智能设计系统”基金(201335)

2016-05-10 修改稿收到日期：2016-06-21

熊吕露 男，硕士，1993年生

王德禹 男，博士，教授，1963年生

U661.44

： A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.17.025