冯培越

摘 要 作为山东半岛重要的经济、文化中心，近年来随着青岛社会经济快速发展，交通堵塞问题日益严重。2015年和2016年，青岛连续两年位列中国十大拥堵城市之一。交通拥堵给青岛市民带来了大量不便，严重阻碍了社会进步和经济发展，已经成为全社会关注的焦点和热点。基于此，我们针对青岛立交桥难下的现状，以杭鞍路立交桥为例，聚焦杭鞍路下桥口路段，通过实地调查、数据分析和数学建模，尝试对该问题的成因进行深入的探讨和分析，并提出合适的解决策略。

关键词 立交桥；快速路；拥堵

中图分类号 U4 文献标识码 A 文章编号 2095-6363（2017）16-0029-03

杭鞍快速路是青岛的一条东西向快速公路，全长约6.2km，向东沿鞍山路、辽阳路接青银高速路市区入口，直至滨海公路。杭鞍快速路沿途连接了10余条城市主干道，是青岛交通网络非常重要的一环。虽然作为快速路，沿路车流较畅通，但高峰期时下桥口经常有拥堵現象，以致于自下桥口以后的路段车辆寸步难行。

为方便问题分析及意见提出，我们将以以下假设为基础，并作出如下说明：1）忽略驾驶员主观因素（年龄、驾龄、性别、反应速度等）；2）假设车辆都沿道路单方向行驶，车辆状态良好无故障；3）假设驾驶员都遵守交通法规，严格控制车距和车速（不超速）；4）忽略道路施工、交警指挥、意外事故、天气等的影响；5）假设车辆在桥上通过时匀速且密度不变；6）假设每个车道的车通量相同。

1 模型建立及求解

1.1 模型：上下桥变道阻滞堵塞模型（拟合模型）

基本模型。经过实地考察，该路段的行驶车辆大多为私家车和出租车，少有公交车和卡车。在这里，我们假设所有车的车长、车宽、车型均相同，将一段距离的车流看做整体，将车长、车宽、车型当作流体内部因素，就可以把它作为流体进行分析。在此，流体不为理想流体，因此我们需考虑流体的黏性及黏性力。因为从桥上下来的车流与原来在桥下运动的车速度不同，当其在引桥出口相遇时因速度不同将会产生切应力，而实际情况中由于车辆变道会对原车流造成阻碍而不会有促进，因而我们只考虑向后的切应力，也就是会损失一部分动量。

根据牛顿粘性定律[2]其切应力为：

根据交通流理论[3]：

在此车通量Q等同于液体质量m，流体接触面积等同于路长l。

接下来将主要叙述根据实际观测情况及交通局提供的数据进行拉格朗日插值、牛顿插值及多项式三次拟合处理，总结出实验表达式，表达出1/U与√（V1V2/L）之间的关系。

首先，我们根据实际观测情况及交通局提供的14组数据（表2）绘制出离散数据的点折线图（图1）。

根据图象进行分析，当x1>110时，发现函数折线上下交替，x1与y1无明确对应关系；当x1<110时，x1与y1尚有较好的对应关系。

根据实际情况进行分析，当L不变，x1增大时，即V1V1乘积增大，增大到一定界限（如本情况下的x1>110）时，在道路上表现为通畅，而通畅时下桥与在平路行驶的车辆数量并没有严格被限制（如V1=30km/h，V1=50km/h时，车辆数量只要不超过车流密度最大值，车辆行驶速度就不会受到影响，因此即便在同一时间、同一地点也无法保证车流密度相同），在同一地点都无法确定，因而在不同时间及不同条件下更无法确定；反观当V1V1乘积偏小时，综合两股车流考虑车流密度特定且唯一，此时与模型较为吻合。

综上，进行下一步插值、拟合前，应去掉（110.3，0.002941）后的点，只利用其左侧散点。

对于插值法，我们先实验了拉格朗日插值法以及牛顿插值法，尽管把14组数据精确到了6组，但两者仍不同程度出现了较为明显的龙格现象。以拉格朗日插值法为例，求得函数如图2：

鉴于此种情况，我们在考虑采集数据不能保证精确，且此种情境的数据在自变量与因变量关系中上下浮动的情况之后，相较于切比雪夫零点插值，最终选择调用MATLAB中的Curve Fitting tool进行多项式二次、三次拟合，与原离散数据的点折线图放于同一图内进行分析对比。

根据从Curve Fitting Tool中分别调取的拟合函数信息，两种拟合的确定系数都十分逼近1，且两者的和方差、均方根都在及数量级，故两支曲线拟合都十分精确，两者间差异在讨论区间内可忽略不计；又因为在本模型中需要多次引用车流密度U，因此为简化自变量与因变量间关系及计算过程，我们决定采用多项式二次拟合模型。

据此，我们可以得到函数关系式：

（1）

1.2 模型求解分析

1）基本模型认为无论之前桥上桥下的车流如何，变道汇聚之后的车流密度仅与桥上桥下的车流速度和可变道路段长度有关，这个结论是经过使用MATLAB多种数据拟合方法得到的，具有一定准确度。2）从车流下桥减速后开始观测数据，包括桥上桥下的车流密度和车流速度，观测认为从变道开始两股车流均已减速完毕。3）从车流变道完毕后到接近信号灯的车流密度均认为是拟合表达式中的U，这个结论是在确定变道长度不长的情况下的一个较好近似。4）可测得已知量V1、V1、L。5）将已知量代入式（1），可求得1/U0。6）若变道汇聚以后的车流密度比变道之前的两股车流密度均有很大增加，则认为变道造成上下桥交通堵塞。7）赋予变道汇聚之后的车流密度与变道之前的两股车流密度的平均值之比，即：

这个量一个名称-车流变道阻滞指数，此名称由物理流体模型类比得到。

2 解决堵塞的策略与方法

在此模型中，将根据下桥通过绿灯的交通量确定最优方案。

1）引入可测变量：N1—桥下平路车道数；N2—下桥至平路车道数；V—两股车流汇合后的总速度；D—每车道中1辆车所占距离（包括平均车长和车之间间距）；Vff—畅行速度（Greenshields理论中的量）。endprint

2）常量及可测已知变量：t1，t3，U01，Ug。

3）优化过程：

（1）当Q1最大，即优化范围的上限时，情况为：各车道填满即达到最大车流密度，且所有车以最大速度通过绿灯（不考虑加速）时一小时内通过的车数，即：

（2）当Q1达到输入车辆与输出车辆相等的临界值，即优化范围的下限时，情况为：一个红绿灯周期内，到来的车辆在绿灯时间全部驶走时一小时内通过的车

数，即：

（3）又因为两股车流有两个速度，因此近似模拟汇合后总速度为两个速度以车道数为权重的加权平均数，即：

（4）在交通流理论中，根据及格林希尔兹（Greenshields）提出的速度-密度线性模型

可得：

（5）综上，又依据：

可列出优化方程为：

即

据此可知，只要满足

就可以求得L的优化范围。我们知道，D以km为单位，数量级为，故在实际中此关系在绝大多数情况下都得到满足，据此可直接计算L范围。

3 结果分析与检验

模型优缺点分析：

优点：模型采用多种插值或拟合方法，如三次拟合、二次拟合、拉格朗日插值法、牛顿插值法等，并对每一种方法得到的函数关系式进行SSE（和方差、误差）R-square（确定系数）、Adjusted R-square、RMSE（均方根、标准差）误差分析，保证函数表达式的精确性，在讨论复杂的变道问题时简化模型，因变量和自变量的关系与实际情况相符。

缺点：1）模型一是采用插值和拟合方法得到的函数关系式，缺乏逻辑关系，因变量和自变量间可能还有其他更精确的函数关系；2）建立数学模型时做了许多近似，未考虑一些影响因素。

参考文献

[1]程稼夫.物理奥林匹克竞赛教程[M].北京：中国科学技术大学出版社，2012.

[2]陆德普.城市交通现代化管理[M].北京：人民交通出版社，1999.

[3]蔡锁章.数学建模教材[M].北京：海洋出版社，1998.

[4]王健、趙国生.MATLAB数学建模与仿真[M].北京：清华大学出版社，2015.

[5]张德丰.MATLAB R2015b数学建模[M].北京：清华大学出版社，2016.endprint