谢作如++杨玉轩

在创客教育中，3D建模与3D打印是很重要的组成部分。按理说，3D建模与数学是息息相关的，但审视中小学常用的3D建模软件，更多的是在考量鼠标操作的熟练程度，几乎看不出“数学”体现在哪里。因而，我们希望更多的老师教学生用“3D程序员”来建模，力求在“造物”的同时，把数学知识也用起来。

要用“3D程序员”设计出具有圆滑曲线表面的模型，肯定离不开函数的帮忙。函数几乎是所有学生数学学习的痛点，但建模并不关注对函数原理的研究，只要知道什么样的函数能产生什么样的图形即可。按照初等数学和高等数学两部分内容，我们分别例举数学函数在3D建模中的巧妙应用。

初等数学中的函数与应用

初等数学中，学生能够学习到基本的初等函数，如指数函数、对数函数、幂函数、反函数以及三角函数等（如下表）。这些函数用图像来表示，如图1所示。

那么，建立3D模型时可以利用这些函数来实现什么功能呢？下面来看几个例子。

1.用抛物线做笔搁

很多立体图形都可以通过平面图形拉伸而成，如立方体。“3D程序员”中的数学模块，包含了基本的初等函数，图2为一个自变量为x的二次函数图像，图像为抛物线。“3D程序员”给抛物线加上“线宽”的属性，只要用拉伸功能，就能形成一个立体模型。

笔搁是毛笔书法中除文房四宝之外，另一不可或缺的物品。（仔细观察笔搁的构造如下页图3所示）很快就会发现其中的规律：笔搁主要是由曲线组成，而这段曲线又是不规则的，可以通过不同的函数方程拼接出来。

把形状图放入坐标系，再根据坐标系写出曲线方程，如下页图4所示。

根据不同函数的图像特点，拼接出一个所需的图像，函数如下。

f（x）=-x^2+7 x∈[-2.5，0]

g（x）=√（10x+64） x∈[-6.4，-5.3]

h（x）=-（x+3.5）^2 x∈[-5.3，-2.5]

根据函数画出一半图像后，利用“3D程序员”中的“镜像”指令，完成构图（如图5）。在没有给出确定坐标值的情况下，学生想出的数学公式并不是唯一的，寻找合适的数学公式的过程，就是一次有趣的探究。

2.用正弦函数设计“激光剑柄”

《星球大战》作为一部经典电影，一直深受“星战迷”的喜爱。在电影中，用于近身格斗的激光剑也成为《星球大战》的象征，制作一把激光剑是很多创客的选择。除去剑身，最主要的部分當属剑柄，而激光剑柄需要有流线的外形（如图6）。

分析剑柄的曲线部分，其是利用三角函数中的正弦函数曲线特性，减小自变量的值使曲线变得平滑。周期变大，坐标轴显现如图7所示。

公式：f（x）=2.4+sin?（0.35x） x∈[2.5π，7π]

输入2D函数，利用其他指令和形状进行拼接组合，再利用“旋转”功能，就可以完成剑柄的制作。在如图8所示的模型中，剑柄还要挖空，用于放入电源及其他电子器件，所以特意开了一个口子，用于安装控制激光剑效果的“按钮”。

3.用“心脏线”做吊坠

“心脏线”是一种比较特殊的函数。心形函数有很多种表达式，利用任何函数图像的特性组合为一个分段函数形成一个心形线，如下页图9所示，最终在“3D程序员”中画出了心形函数的图像。

公式：f（x）=√（1-（|x|-1）^2 ） x∈[-2，2]

g（x）=arccos?（1-|x|）-3 x∈[-2，2]

利用“心脏线”可以做一个心形吊坠，用一个球与拉伸后的“心脏线”进行凸壳处理，即可得到一个心形的实体（如下页图10）。

需要提醒的是，可以先取“心脏线”的一半（只需改变x的取值范围）和球的一半，进行凸壳处理，之后镜像翻转，再进行布尔合并即可。

小结

不管是指数函数、幂函数、对数函数还是三角函数，它们都有一个共同点，就是图像都是曲线，更改变量后会得到无数种图形。同时，根据一个函数图像，也可以得到该图像的无数种表达式。确定和不确定的融合，这就是数学建模的乐趣所在。

函数并不只存在于数学运算中，它时刻与我们相伴。在进行3D建模的过程中，仅仅用肉眼很难画出一条完美的曲线，如果能够合理地利用各类函数的特性进行组合，设计出来的作品就会更加精彩。使用“3D程序员”来设计3D模型，能够将抽象的逻辑与运算真实地呈现在现实世界中，让学生更加深刻地体验到数学之美。