郑育玲

[摘 要]所谓类比思想，是把两个（或两类）不同的数学对象进行比较，如果发现它们在某些方面有相同或类似之处，那么就推断它们在其他方面也可能有相同或类似之处.它是解决数学问题常用的方法和途径，在中学的数学教学中有意识地渗透类比联想的思想方法，有助于提高学生的数学思维能力，并且发现知识间的内在联系.本文通过探析类比联想、类比与数列以及类比与解析几何，学会举一反三，触类旁通，以期指导学生有意识地锻炼自身类比联想的思维能力.

[关键词]类比；數列；解析几何

一、类比与联想

例1 已知是非零实常数，对任意，恒成立，则是否为周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由.

解题策略：由已知等式的结构形式联想到与进行类比，所以把看作的一个具体模型，题中的相当于，由函数的周期，故可猜想的周期可能是.

对任意，有

；，根据周期函数的定义可知是一个周期为的周期函数.

通过结构关系上的相似性进行类比、联想是进行探索、创新的一种重要途径.因此，在中学数学的学习中不仅要重视公式的记忆，更要把握公式中量与量之间所反映出来的结构关系，这样才能做到举一反三，触类旁通.

二、数列中的类比

例2 （1）求证：在等差数列中，若，则有等式成立；（2）类比上述性质，在等比数列中，若则有等式 成立；（3）在第（1）小题中，若将改成，则相应的等式应该是 .

解题策略：

1.常规解法是根据等差数列的前n项和公式分别对等式两边进行求和，并由化简证明两式相等.下面给出一种较简便的解法：设是数列的前n项和，且.因为，所以，由是n的二次函数可知：的图像的对称轴为，所以，即成立.

注：中的n本是正整数，但为了研究的方便，不妨设亦可.

2..类比的依据如下：不妨设，则数列就是等差数列，且，由第（1）小题易知，化简后即有

3..

等差数列和等比数列是高中数学进行类比的典型例子.这是因为两者的定义只有一字之差，而定义中的“差”与“比”只是运算上的差别，两者之间可以相互转化：即若是等差数列，则是等差数列.所以，从本题中涉及的运算关系看，是加法运算与乘法运算的类比.

三、解析几何中的类比

例3 与圆类似，连接圆锥曲线上两点的线段叫做圆锥曲线的弦，过有心曲线（椭圆、双曲线）的中心（即对称中心）的弦叫做有心曲线的直径.对圆，由直径所对的圆周角是直角出发，可得：若AB是圆O的直径，M是圆O上的一点（异于A、B），且AM、BM均与坐标轴不平行，则.

1.试根据点M和直径AB的特殊位置，写出对椭圆的类似结论并证明；

2.类比问题（1），写出对双曲线的类似结论.

四、解题策略

1.在椭圆上任取，直径的两端点坐标为、，，由此可猜想出相应的一般结论是：若AB是椭圆的直径，M是椭圆上异于A、B的一点，且直线MA、MB与坐标轴均不平行，则.

证明如下：设、是椭圆上不同的两点，由于椭圆的中心是原点，故直径AB的另一端点B的坐标是，且满足，.由此得，，因此.

2.若AB是双曲线的直径，为双曲线上异于A、B的一点，且直线MA、MB与坐标轴均不平行，则.

圆锥曲线的方程都是二元二次方程，圆锥曲线的第一定义很相似（特别是椭圆与双曲线），圆锥曲线还可由第二定义来定义，并把方程统一成极坐标形式.因此，根据一种圆锥曲线所具有的性质，通过类比，可在方法或结论上探索另一种圆锥曲线所具有的性质，当然这种性质不一定是简单的“复制”.

参考文献：

[1]类比法在数学课堂教学中的应用[J]. 宁华玲. 读书文摘. 2015（18） .