王璐

随着高考的改革，数学试题对学生的要求也越来越高，不再是应试型题目，因此，学生在数学的学习过程中，要熟悉并了解一些解题的规律以及策略.本论文主要从三角函数图像的性质探讨解题的基本规律，为教师以及学生在数学更深一层的教学以及学习的过程提供建议.

一、三角函数的图像特征

对三角函数y=Asin（ωx+φ）+b进行求解时，往往比较复杂，因此，在求解时，往往将ωx+φ转化为角α，然后再利用三角函数的性质进行求解.

已知y=2cos2x+3sin2x+a（a∈R）求：（1）如果x∈R，求三角函数y图像的单调增区间；（2）如果x∈R，求三角函数y的最小正周期；（3）如果x∈R，求三角函数y图像的对称轴方程；（4）如果x∈0，π2，三角函数y的最大值为2，求函数y的最小值.

本论文主要以该例题为线索，为学生在三角函数图像的求解问题上给出解题的相关规律.

二、单调区间求解问题

做该三角函数题时，应利用函数的转化思路，将复杂问题转化为简单问题.转化分为两步：首先，将y=2cos2x+3sin2x+a转化为y=Asin（ωx+φ）+b形式；然后，再将ωx+φ转化为角α，那么四个问题均会转化为与sinα有关的问题.

y=2cos2x+3sin2x+a=（cos2x+1）+3sin2x+a=2sin2x+π6+a+1.

（1）对2kπ-π2≤2x+π6≤2x+π2求解，可得kπ-π3≤x≤kπ+π6，因此，三角函数y图像的单调增区间是kπ-π3，kπ+π6，k∈Z.

在此类问题的求解过程中，往往会出现其他错误，如，求三角函数y=sinπ3-2x的单调增区间，很多学生往往不可避免会令2kπ-π2≤π3-2x≤2kπ+π2，k∈Z.这种解法是错误的，求出的是单调减区间，正确的方法是先转化形式y=sinπ3-2x为y=-sin2x-π3，然后再进行求解.另外一种简单解法是根据图像特征求解，通过观察三角函数图像可知，图像的最大值和最小值之间相差周期的一半，即T2，利用sinα的性质找到三角函数的最低点，然后，将最低点的横坐标向左减去半个周期，或者向右加上半个周期，即可得到相邻的最高点的横坐标，进而能够得到一个单调减区间或增区间，最后，在这个周期上加上三角函数的整数倍周期，即可得到该函数图像的单调区间.

在对y=2sin2x+π6+a+1的单调增区间进行求解时，首先，找到最低点，2x+π6=-π2，x=-π3，该函数的周期为π，相邻最高点为x=-π3+π2=π6.因此，-π3，π6是该函数的一个增区间，进而得到该函数所有的增区间为kπ-π3，kπ+π6，k∈Z.同样，该方法对于函数形式y=Acos（ωx+φ）+b同样适用.如，对函数y=cos2x+π2+b，求单调减区间.最低点为2x+π2=-π，x=-34π，函数周期为π，因此，相邻最高点的横坐标为x=π4，因此，一个单调增区间为-34π，π4，进而得到该三角函数的全部单调增区间kπ-34π，kπ+π4，k∈Z.

三、最小正周期求解问题

本文中第二个问题即是最小正周期的求解问题，求解过程为：

（2）T=2πw，此题中ω等于2，因此，T等于π，因此，三角函数y的最小正周期是π.

在三角函数最小正周期求解中，往往是作为填充题出现，学生应学会利用三角函数周期的性质，即：用辅角公式时，ω不发生改变；对简单的正余弦函数来说，当有绝对值或者进行平方之后，周期减半.

如，对函数f（x）=2sin4x+3cos4x求最小正周期，显然，利用三角函数周期的性质可以得知，最小正周期为2π4=π2，再例如，对函数f（x）=（2sin2x）2求最小正周期，π减半为π2.

通过了解并熟悉三角函数的性质对最小正周期求解，既有质量又有速度，在时间上就会占有较大的优势，因此，在解决问题时，还应该学会抓住问题的本质.

四、对称轴求解问题

本文例题中的第三个问题是对称轴的方程求解.解决步骤是：（3）对称轴2x+π6=π2+kπ，k∈Z.因此，对称轴方程为x=π6+kπ2，整理方法可得：三角函数在对称轴处可以取得最大值或者最小值，而且两个相邻的对称轴之间相差半个周期，因此，只要找到三角函数的任何一条对称轴之后，再加上一半周期的整数倍.

五、最大值最小值的求解问题

正余弦函数的最大值和最小值分别为1和-1，因此，该题中sin2x+π6的最大值为1，最小值为-1，函数y的最大值为y=2×1+a+1=3+a，最小值为y=2×（-1）+a+1=a-1，a=-1，进而函数y的最小值为-2.在进行最大值、最小值的求解过程中，往往需要求出x的横坐标，该问题与對称轴求解问题思路一样，此处将不再一一表述.

在三角函数图像题的解决方法中，要学会用宏观的方法进行解决，站在宏观的角度对问题的解决规律进行总结，才能掌握并了解问题的性质以及方法.