薛威娜

【摘要】针对具有密度制约的HIV动力系统，讨论其最优控制问题.通过引入药物的有效性，建立目标泛函且分析最优控制的存在性.结合庞大利亚金最大值原理和汉密尔顿函数，建立最优控制策略，从而，对具有年龄结构的HIV动力系统进行有效控制.

【关键词】HIV；动力系统；最优控制；惩罚因子；最大值原理

针对HIV病毒，目前还没有研发出根治药物.结合动力学数学模型和性能指标，学者们提出了艾滋病毒感染的最优控制问题.针对HIV病毒感染问题，基于状态依赖的Riccati方程，H.T.Banks等人考虑了最优反馈控制问题和状态估计问题.

许多数学模型主要针对CD4+T细胞和HIV病毒交互作用进行阐述.在这些模型中，HIV感染模型可以采用最优控制原理分析这类系统.基于带有密度制约的年龄结构HIV动力系统模型的最优控制理论还没有被深入研究.

一、HIV动力系统模型

考虑如下具有密度制约的HIV动力系统数学模型

如果a≥d1，其中β代表到达饱和量的速率，否则，为概率密度函数.T（t）为在t时刻未感染CD4+T细胞数.T*（a，t）为在年龄为a时感染CD4+病毒数量.V（t）为在t时刻病毒数量.Tmax为人体内CD4+病毒的最大容纳量.s为未感染CD4+病毒的细胞增长常数速率.d为未感染细胞的感染过程.KV（t）T（t）为未感染细胞的感染过程.δ（a）为感染CD4+病毒细胞的死亡速率.c为病毒数量是常数速率.

二、最优控制问题

目标泛函为J（ε）=∫t f0[RV（t）+Qε（t）2]dt，其中Q和R分别为病毒量和控制权重，ε（t）为药物的有效性，满足0≤εmin≤ε（t）≤εmax<1.ε（t）在[0，tf]上是可测函数.因此，（1）转化为如下最优控制问题：

因此，

dT*dt（aj，t）=-T*（aj，t）-T*（aj-1，t）Δaj-δ（aJ）T*（aj，t），

dvdt=∑nj=1p（aj）T*（aj，t）·Δaj-cv（t）.（5）

令x=（T，T*1，T*2，…T*N，v）T，其中T*j=T*（aj，t），则（5）转化为

x=TT*1T*2T*nv=s-dT+rT1-T+ITmax-（1-ε）kvT-T*1-k（1-ε）vTΔa1-δ（a1）T*1∑nj=1p（aj）T*jΔaj-cv .（6）

其中，初始条件为X（0）=[T（0），T*0（a1），T*0（a2），…，T*0（an），v（0）]T.

结合目标泛函和约束条件以及惩罚因子，构造如下形式的拉格朗日函数：

L=[Rv（t）+αε2（t）]

+ρs-dT+rT1-T+ITmax-（1-ε）kvT

+λ1-T*-k（1-ε）vTΔa1-δ（a1）T*1

+∑nj=Lλj·-T*j-T*j-1Δaj-δ（aj）·T*j

+η·∑nj=1P（aj）·T*jΔaj-cv-w1（ε-εmin）

-w2（εmax-ε）.

其中，wi（t）≥0，i=1，2是罚算子.在ε=ε*时，有w1（t）（ε-εmin）=w2（t）·（εmax-ε）=0.

定理2假设存在一个最优控制ε*和（6）式满足目标泛函，则必存在向量[ρ…η]满足

Y=ξλ1λ2λnη=

--dρ+kξ-rTTmax-（1-ε）kv+k（1-ε）vΔa1·λ1-λ1Δa1-δ（a1）·λ1+λ2Δa2+P（a1）·Δa1η-λnΔan-δ（an）·λn+P（an）·ΔanηR-ρ·（1-ε）kT-cη+λ1·k（1-ε）TΔa1 .

且終端条件Y（tf）=[0，0，…，0]T.最优控制函数ε*满足

ε*=maxεmin，minεmax，12Q·kΔa1vTλ1-kTρ.

证明利用庞大利亚金最大值原理和拉格朗日函数得到如下等式：

Y=-LX

=-dρ+kξ-rTTmax-（1-ε）kv+k（1-ε）vΔa1·λ1-λ1Δa1-δ（a1）·λ1+λ2Δa2+P（a1）·Δa1η-λnΔan-δ（an）·λn+P（an）·Δan·ηR-ρ·（1-ε）kT-cη+λ1·k（1-ε）TΔa1 .

为了求解最优控制ε*，根据必要条件可以得到

Lε=2Qε（t）+kvTξ-λ1·kvTΔa1-w1+w2=0，

2Qε（t）=λkvTΔa1+w1-w2-kvTρ，

因此，ε*（t）=12QλkvTΔa1+w1-w2-kvTρ.