王娟芳

【摘要】三角函数是中职数学中比较重要的一部分，而三角函数教学最重要的就是求最值.本文重点探讨中职数学教学中三角函数最值的几种求法.

【关键词】中职数学；三角函数；求最值

三角函数是近几年中职数学考试中的重点之一.而求最值问题是整个三角函数知识体系中最重要的一个知识点.中职数学的三角函数的知识点比较基础和初级，但是对于中职学生来说，还是比较难的一个知识点.通过三角函数求最值问题分析，能够更好地加强学生数学思维能力的培养.

一、中职数学中三角函数教学存在的问题

目前，学生普遍反映三角函数是中职数学中难度较大的知识点，不少学生学起来感觉非常吃力.导致其教学效果不够理想的原因主要有：一是中职院校的学生自身的学习基础比较差，部分学生没有养成积极正确的学习习惯，缺乏自主性，这使得学生碰到稍有难度的知识点时就会出现为难情绪，尤其是三角函数涉及的内容比较多，学生如果不能充分理解，就会出现对正切、余切、正弦、余弦等概念混淆的情况；二是大部分中职院校教师的教学方式仍然采用过去那种单一的“灌输式”的课堂讲授模式，常常会出现学生无法理解相应知识点的状况.

二、中职数学中三角函数求最值的几种解法

（一）三角函数的有界性求解

所谓三角函数的有界性求解是从三角函数最值求解的本质上来说的，即在对三角函数的定义域不做一定限制的情况下，利用三角函数自身存在的有界性来求其最大值或最小值的解法.

求解这类问题，首先利用有关三角函数公式化为y=Asin（ωx+φ）+k的形式.在化简过程中常常用到公式

asinx+bcosx=a2+b2sin（x+φ），其中φ由tanφ=ba及点（a，b）的位置确定.

例1求函数y=1-cosx3+cosx的值域.

解y=1-cosx3+cosx（1+y）cosx=-2cosx=-21+y，由|cosx|≤1得-21+y≤1，即|1+y|≥2，解得y≤-3或y≥1，所以函数y=1-cosx3+cosx的值域是（-∞，-3]∪[1，+∞）.

（二）三角函数数形结合法

三角函数是从三角形的边长中发展而来的，它的正弦、余弦、正切、余切都与三角形的边长求解相关.因此，通过数形结合的方式能够解出三角函数的最值.

例2求函数f（θ）=sinθ-1cosθ-2的最大值与最小值.

分析法一：设y=f（θ）=sinθ-1cosθ-2，去分母整理化为sinθ-ycosθ=1-2yy2+1sin（θ-φ）=1-2y（tanφ=y）

|sin（θ-φ）|=1-2yy2+1≤10≤y≤43.

法二：f（θ）=sinθ-1cosθ-2可看作經过两点A（2，1），B（cosθ，sinθ）的直线的斜率，点B（cosθ，sinθ）在单位圆x2+y2=1上运动，

由图可知当直线AB处于L1的位置时，斜率取最小值0，当直线处于L2的位置时，斜率取最大值43.所以0≤f（θ）≤43.

（三）利用均值不等式

利用均值不等式求三角函数时，一定要注意均值不等式的使用条件：一正、二定、三相等.

例3当0

解设t=tanx2>0（0

4.利用判别式

例4求函数y=3sinx2+cosx，x∈R的值域.

解① 当x=2kπ+π（k∈Z）时，y=0；

② 当x≠2kπ+π（k∈Z）时，y≠0，设t=tanx2∈R，则y=3·2t1+t22+1-t21+t2=23·tt2+3，即yt2-23·t+3y=0，由y≠0，Δ=（23）2-4·y·3y≥0， 得-1≤y≤1，且y≠0.

总而言之，加强对中职数学中三角函数的最值求解方法的研究，不应该仅仅将其局限在三角函数教学这一块，而是应该加强数学系统内各类别知识的结合，以此来提高学生的综合运用能力，同时培养学生的数学思维能力.

【参考文献】

[1]罗新军.万“变”不离其宗——三角函数角的变换技巧[J].亚太教育，2015（03）：43.

[2]胡金梅.中职数学三角函数最值的几种求法解析[J].中国校外教育，2015（04）：124.

[3]赵丽.基础数学中最值问题的求法及应用[J].忻州师范学院学报，2015（05）：14-18.