毛南燕

随着《义务教育数学课程标准（2011年版）》的颁布，越来越多的数学教师对新课标进行研究并在教学中不断探索如何更好地实现新课标的要求.新课标中提出的课程总目标中“增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”，简称“四能”.对于如何在函数的教学中切合学生需要，帮助学生提高“四能”做出了教学探索.本文简述一节课的构思过程以及课堂中一些引人深思的片段，并把自己的教学反思提供给大家研究.

一、教学设计的构思

本节课是在学生已经学习了苏科版数学教材八上第六章一次函数的所有知识后，所上的一节综合复习课.主要目的是让学生感受一次函数是帮助我们解决实际问题的有效模型.从以生为本的角度来说，对函数的理解是学生的一个很大的难点，而一次函数又是学生第一次接触函数.因此，这节课我选择从学生最熟悉的一次函数模型——行程问题入手，降低学生研究的难度.利用三个活动层层递进，根据学生的需要，逐步提高“四能”.活动一的目的是树立模型意识；活动二的目的是强化模型意识；活动三的目的是提升建模能力，拓展数学认识.让学生自主提出问题贯穿整节课，在提问时希望学生能从函数的角度提出问题，考虑在变化过程中如何合理设置问题，并利用函数模型解决，拓展学生对函数模型的认识.

二、教学片断解读

片段1经历冲突，发现困惑

教师：一辆货车从甲地驶往乙地，匀速行驶.这个情境中有函数吗？

众生沉默.

学生1：这个情境中没有函数.

教师：为什么？

学生1：因为这个情境中没有变量.

学生2：不对，有变量.

教师：什么是变量？

学生2：货车的行驶时间是变量，货车行驶的路程也是变量.

教师：还有其他变量吗？

学生3：货车到乙地的距离也是变量.

教师：那么这个情境中有函数吗？

众生：有.路程是时间的函数.

教师：为什么？

众生表示困惑，感觉说不清楚.

教师引导学生回忆函数的定义：对于两个变量货车行驶的时间和路程，对于时间的每一个值，都有唯一的路程的值与它对应，所以货车行驶的路程是时间的函数.

学生有所领悟.

教师：货车离乙地的距离是货车行驶的时间的函数吗？

众生：是.

过程解读

当给出的情境中没有问题时，学生不能很好地对情境进行分析，容易产生学生1的错误认识.学生接触的函数问题基本都是先写出函数表达式，导致学生拿到问题就急于写表达式，而这个情境中没有具体的条件，从而让学生深入思考，通过对问题的不同认识，经历冲突，发现对函数认识的困惑，引导学生发现正确认识变量之间的相互关系是更好理解函数概念的关键.

片段2

活动一中提出以下问题：（1）若货车的速度为60 km/h，甲、乙两地相距900 km.

（2）设货车行驶的时间为x（h），请写出货车到甲地的距离y1（km）与x（h）之间的函数表达式，并画出图像.

教师：完成的同学把你们画好的图像放在一起比一比，你们能发现什么？

学生按小组比较并讨论.

两分钟后，教师：请一名同学代表小组展示你们组发现的问题.

学生4带着小组同学画的圖投影并解说：y1=60x，有的同学写成了y1=900-60x，错了，货车到甲地的距离应该越来越大.

教师：好的，画图像还存在什么问题？

学生4：这名同学画的是一条射线，但是货车到达乙地就应该不走了，所以我画的是一条线段.

教师：那你能给大家提点建议吗？解决这样的问题要注意什么？

学生4想想：要注意等量关系，还有写函数表达式要注意实际问题中x的取值范围.

过程解读

这个问题原本在开始设计时，是同时出现两辆车，写两个函数表达式，画两个函数图像.在试讲中笔者发现，对于教师来说认为很简单的问题，学生表现出的情况很复杂：开始函数表达式就写错的；画图不知道怎样取适当的单位长度便于描点的；还有画成直线、射线的.一方面，笔者把问题改简单了；另一方面，增加讨论、自主展示和总结的过程，让学生去发现问题，分析和解决问题，效果很好.通过讨论，学生对于实际问题中的函数有了更深的理解.

片段3

活动二中增加一个新的函数图像后，学生讨论其实际意义.

学生5：y2表示轿车离甲地的距离，因为一开始y2等于900，最后y2等于0，越来越小，轿车也是一样.

教师：这是从图像看出来的，还有什么重要的条件可以帮助你说明？

学生6举手：轿车的速度是90 km/h，所以到甲地要10个小时，图上有一点正好是（10，0）.

教师：说明得很好，有不同的方法吗？

学生7：我是根据直线上的两个点设表达式，然后求出y2=900-90x，轿车到甲地的距离写出来也是一样的.

教师：两名同学用不同的方法解决了这个问题，一个是根据图上的特殊点、趋势结合实际意义，一个是用了待定系数法结合实际意义，值得大家思考和学习.

过程解读

学生对一次函数的认识，必须在不断以不同形式出现的一次函数的刺激下，才能慢慢加深.很多学生能回答出是什么，但说不清为什么.这个活动很好地解决了这个问题，学生可以从多角度看待这个函数，真正认识这个函数.

片段4

活动二中，学生根据两个函数提出两个可以解决的问题，一个自己解决，一个交给同学解决.开始时学生略有放不开，教师鼓励学生提好问题后和小组中的同学交换，很快学生热情高涨，不断提出问题，并且想提出既困难又有价值的问题.

学生提出的问题简录：

问题1：两车何时相遇？

问题2：当轿车到达时货车离乙地还有多远？

问题3：写出货车和轿车离乙地的距离与x的函数关系式，并画出图像.

问题4：轿车经过甲、乙两地中点后多久货车也经过同一地点？

问题5：轿车离甲地的距离何时大于货车离甲地的距离？

问题6：两车何时相距300千米？

……

过程解读

开始的设计中教师打算对两车之间的距离与货车行驶的时间做出深入的研究，后来放弃了这个想法，而是在引导学生提出不同问题上，给予了充分的时间和空间.让学生充分感受一次函数模型在解决实际问题中多种不同的方法，以及函数方法解决问题的优越性.更多地从数学的角度发现问题和提出问题.当学生自己提出这么多样的问题后，再遇到需要解决的问题时将更为熟悉问题也更加善于分析问题.

三、教学反思

（一）突出“以生为本”，提高“四能”

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：在数学教学活动中，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者.數学课教什么、怎么教一直是笔者关注的重点，在这堂课的教学探索中，笔者放弃了常见的在一次函数的问题上不断加深难度的做法，立足于学生需要，关注学生发展，放下身段低下头.在课堂中，教师的所有行为都是为了学生的发展.如何让学生感受和发现函数是刻画现实世界数量关系的有效模型，发现和提出合适及有效的函数问题，并自觉使用函数方法分析和解决问题是这节课的难点.所以，笔者选择从学生熟悉的行程问题入手，通过活动一从情境中找出函数，发现问题，用数学的语言提出可以用函数解决的问题，并从不同角度解决同一个问题，帮助学生树立模型意识，再通过总结、反思提炼出用一次函数解决问题的通常经历的过程.这个活动不但激发了学生的学习兴趣、引发了学生对函数的思考，还关注了学生学习习惯的培养.在这个过程中不同的学生可以获得不同的发展，低起点，高产出.

（二）培养“模型思想”，提高“四能”

模型思想是《义务教育数学课程标准（2011年版）》中新增的核心概念，也是课程总目标中学生必需的“四基”之中的基本思想中最主要的一个思想.数学思想是数学教学的核心和精髓，这节课恰好是一个合适的平台，让笔者可以在教学活动中尽力反映和体现模型思想，让学生体会和感悟函数模型，有利于提高学生的数学素养.这节课通过从具体情境中抽象出数学问题，到用数学符号建立一次函数模型表示数学问题中的数量关系和变化规律，最后通过模型求出结果，并用此结果去解释、讨论它在现实问题中的意义.通过三个不同层次的活动，让学生从树立模型意识到强化模型意识再提升学生的建模能力，拓展了学生的数学认识，模型思想贯彻始终.在这节课中，活动三由于时间的限制，没有充分地进行，可以延伸下去，让学生课后自主探究如何发现和提出问题，并用函数模型分析和解决，逐步渗透.在接下来的教学中，笔者也将继续引导学生不断感悟模型思想、逐步积累经验、掌握建模方法，使学生最终形成运用函数模型去进行数学思维的习惯.

（三）发展“创新意识”，提高“四能”

《义务教育数学课程标准（2011年版）》中指出：“创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在教与学的过程之中.学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法.”问题是数学发展的源泉，也是数学创新的基础.笔者在这节课中致力于让学生在具体情境中不断发现和提出问题，问题意识在整节课中不断递进，不断启发学生的思维、激发学生潜在的创新意识.增强学生的“四能”是义务教育阶段数学课程的总体目标之一，其实质就是重视创新，要培养学生的创新意识，也就是要让学生有自己的问题.在本节课的第一个问题中，对于有没有函数，学生大胆质疑，敢于发表自己的意见，使原本困难的概念得以轻松的解决.学生讨论函数图像的画法，自然地发现画成射线出现的问题，亲身经历问题的出现和解决，自然地理解了实际问题中关注函数自变量取值范围的必要性.在活动二中，学生不断提问，不断深入，同时发现问题合理性的需要，提出了在场教师都很惊讶的丰富的问题，创新意识得到发展.对于活动三的进一步探究，也必将迸发出更加绚烂的创新火花.

（四）实现“问题解决”，提高“四能”

《义务教育数学课程标准（2011年版）》中课程的具体目标之一“问题解决”，不同于“解决问题”，内涵更加丰富，实际也是学生应具备的“四能”.实现“问题解决”的课程目标，需要我们在教学中全面引导学生学会用数学的思维思考，在过程中不断积累思维的经验.对于《义务教育数学课程标准（2011年版）》中有关问题解决的四点表述，本节课均有不同程度的体现.前两点已在前面的反思中涉及.其中的“学会与他人交流”让教师必须改变旧有的课堂模式，在学生的学习方式和学习习惯上加以引导，关注学生“情感态度”方面的目标.本节课笔者给予学生充分的时间和空间与他人交流、合作，交流与合作的形式多样.学生倾听他人思路，表达自己的想法，和小组成员共同分析问题和解决问题.通过交流与合作，促进学生独立思考、主动探索，使学生在理解和掌握原本“双基”的基础上，对“四基”和“四能”都有所发展.通过梳理用一次函数解决问题的一般过程、相互提出问题等活动，提升学生“评价和反思”的能力.