刘小树

形如f（x）=ax+bx，其中a>0，b>0，称为对勾函数.对勾函数是高中数学中游离在基本初等函数外的但又经常考查的函数，在我们的教材中没有正式引入教学.对于刚刚进入高一的学生，总是顾此失彼，产生各种错误，其原因大多是很多学生对于对勾函数的性质规律掌握不好，特别是单调区间的分界点及图像变化趋势.为此笔者设计了一节课，主要通过特例函数f（x）=x+2x，结合研究基本初等函数的图像、性质的方法，利用函数图像的叠加，从基础方法启发，和学生一起探讨，希望对高中初学者有很好的启发作用，最后总结一般性质和图像，从而能够突破理解运用的瓶颈.

一、研究f（x）=x+2x单调性质

定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），由于是奇函数，所以只要研究（0，+∞）的函数单调性，其值域就迎刃而解.

设x1>x2>0，则f（x1）-f（x2）=x1+2x1-x2+2x2=（x1-x2）x1x2-2x1x2，（*）

学生的困难主要是如何确定x1x2-2的符号.

教师：如何确定x1x2-2的符号呢？两个数的乘积和一个正数如何比较大小呢？

学生1：若从x1>x2>0，可得x21>x1x2>x22>0，下面如何比较就看不出来了.（很多学生面带难色，紧锁眉头，思考起来了）

教师：我们知道可以通过作差与0比较大小，能不能先找个零界点来尝试呢？

学生：变形得x21-2>x1x2-2>x22-2，令x21-2=0或x22-2=0，则容易得x1=2或x2=2，找到了零界点，但不知道如何去用？

教师：（启发）当x1，x2都与2有关，那么x1，x2取值与x1x2-2有什么关系呢？这和我们曾经学习的哪个知识点很类似呢？

学生：（恍然大悟）一元二次方程根的分布的判断.（一名学生举手示意要回答这个问题）

学生2：（胸有成竹，很自信的样子）

∵x1>x2>2，∴x1x2>x22>2，f（x1）-f（x2）>0，

即f（x1）>f（x2），（2，+∞）为增区间；

∵2>x1>x2>0，∴2>x21>x1x2>0.

（这名学生一气呵成）结合奇函数的性质我们容易得到（-∞，2），（2，+∞）为递增区间，（-2，0），（0，2）为递减区间.（掌声热烈）

教师：学生2善于联想，分类分得很好.只有当两个数都比2大时，乘积比2大，才有利于单调区间的判断.因此，函数图像在第一象限的顶点坐标为（2，22），第三象限的顶点坐标为（-2，-22）.

二、研究f（x）=x+2x与y=x，y=2x之间的关系

为了进一步掌握对勾函数的特点，弄清2的来源，笔者继续追问：当我看到2时，我的心被隐隐地触动了一下（众生笑），借着刚才学生2的联想，我们继续思考这个顶点与一元二次函数有何异同？这个2来得很突兀，一时感觉还有一些东西没有发现？这个函数和y=x，y=2x有什么关联呢？在同一坐标系的图像如何画呢？（在教师的提示下，学生有的开始尝试）

学生3：由于（2，+∞）为递增区间，（0，2）为递减区间，易得在第一象限有最小值22，而当x∈（0，2）时，容易得到图像在y=x的上方，至于（2，+∞），感觉也在y=x的上方，没有依据，有困惑的地方.

教师提示：比较两个函数图像的位置如同比较两个数的大小一样.（稍过片刻）

学生4：哦，我明白了，Δy=f（x）-x=x+2x-x=2x>0，x∈（0，+∞）.

教师追问：很好，那么Δy变化趋势又是怎样的？（学生思考片刻）

学生5：当x→+∞时，Δy=f（x）-x=x+2x-x=2x→0；当x→0时，Δy=f（x）-x=x+2x-x=2x→+∞.

教师：这种变化说明了什么？

学生5：表现突出的是当x→+∞时，y=x是一条渐近线，f（x）=x+2x图像无限接近这条直线.

教师：分析得很好，（共同分析）接下来f（x）=x+2x与y=2x，我们就很容易得到x→0，Δy=f（x）-2x=x+2x-2x=x→0，函数图像f（x）=x+2x在y=2x上方，类似于渐近曲线，同时y轴正半轴也是函数y=f（x）的渐近直线.综合以上讨论我们知道，y=f（x）图像由这两个函数控制，同时也由它们叠加形成.很显然和二次函数的对称性是不一样的，图像类似于符号√，名字也由此得名.那么大家由图像有没有发现2的来源呢？

学生6：由图（如图1所示）发现，2是两个控制函数图像的交点横坐标.

教师：观察很仔细，通过奇函数的性质，我们这样就掌握了定义域内对勾函数的图像和性质.前面的讨论精彩吧？

学生：确实很精彩，而且解决了很多疑惑.

三、抽象概括

学生根据这节课的讨论最后总结形如f（x）=ax+bx即f（x）=ax2+bx（a>0，b>0）的函数，其图像（如图2所示）及性质如下：

定义域：（-∞，0）∪（0，+∞）；

奇偶性：奇函數；

单调性：-∞，-ba，ba，+∞为递增区间，

-ba，0，0，ba为递减区间；

顶点：ba，2ab，-ba，-2ab；

值域：（2ab，+∞）∪（-∞，-2ab）；

渐近线：渐近直线为y=ax，渐近曲线为y=bx.

教师：那么在解题中如何灵活运用呢？（此时下课铃声响起）且听下回分解.

四、结束语

1.课堂的教学时间是有限的，无论课堂教学如何精彩，学生要想真正掌握知识方法，课后必须内化成自己的东西.而教师要想打造高效精品课程，必须不断探究，与学生共同进步，而不能一堂言、满堂灌，直接告诉学生结论.新课改要循循善诱，不断启发学生，让学生学会思考，学会掌握解决问题的方法.如果能“通过对有限道题的解题教学，让学生领悟那种许多道题甚至无限道题也未必能生成的数学机智”[1]，那么学生才能跳出题海，拨云见日.

2.对勾函数在高中阶段是很重要的函数，在试题中，考查得也比较频繁，应用也很灵活.我们每天都在进行解题教学，有时候神采飞扬，有时候迷惑沮丧，如果我们都是以学生为主体，充分发挥学生的积极性，让课堂动起来，不论对学生，还是对教师都是一种不断提高的心理享受.

【参考文献】

[1]张彬.转化与化归思想设计示例之一[J].中学数学教学参考，2013（1）：81-86.