雷一霄

【摘要】平面向量在数学学习中有着重要作用，它广泛用于平面几何、圆锥曲线的求解中.掌握平面向量的数量积对于中学生的数学学习，可以起到举一反三和触类旁通的效果.但是我们在学习中经常会遇到一些问题，这些问题如果不注意就会影响对平面向量数量积的全面掌握.为更好地学习平面向量的数量积问题，笔者通过总结实际数学学习实践，对平面向量数量积学习中可能会遇到的问题以及问题的解决方法做了总结归纳，以期帮助我们更好地掌握平面向量的数量积的知识点.

【关键词】高中数学；平面向量；平面向量数量积

由于平面向量在数学和生活中应用很广，因此，平面向量数量积的学习对于我们更好地学习数学中的其他知识也具有帮助意义，尤其是对于数学中立体几何的学习尤为重要.我们必须要认真学习平面向量的数量积，注意总结学习中的常见问题，不断提高对数学知识的学习和应用能力.

一、高中数学中的平面向量数量积

向量，既可以表示数量，也可以表示方向，它在数学中有着广泛的应用.在平面直角坐标系中可以用坐标来表示，向量之间可以加可以减，而其数乘就是平面向量的数量积.平面向量所具有的这些特点，使得它在數学中有着广泛的应用.向量的数量积几乎可以解决几何中所有度量问题，如，长度、夹角、平行、垂直等[1].在高中，我们学习了函数、立体几何、算法统计以及平面向量、三角函数等等.其中立体几何的学习在高中数学中的地位非常重要，在数学考试中通常占有很高的比重.然而，在学习平面向量之前，我们常常觉得立体几何特别烦琐，有时候拿到一个立体几何的数学题后，往往无从下手经常要思考半天才能找到解题的切口.虽然在此过程中，我们的思维得到了锻炼，但是高中生由于面临高考，时间紧，任务重，不可能花太多的时间在某一个数学题目上.因此，在找不到解题入口的情况下，许多学生可能会放弃，或者遇到这类题目之后，连想都不想，直接去问其他学生如何解答，这对于高中生的学习实际会起到一种反作用，久而久之就会使得一些学生对于数学学习产生厌倦或畏难情绪.我在学习中最深的体会就是，数学的学习过程是一个建立信心的过程，如果我们不能不断攻坚克难解决数学难题，那么就会渐渐失去数学学习的兴趣和信心.因此，在高中数学学习中，如何破解立体几何的难题对于学生数学知识的学习以及建立学生对数学学科学习的自信心非常重要.平面向量就是高中生解决立体几何难题的一个非常好的方法，因为它可以表示数量和方向，因此，可以通过平面向量来求立体几何问题.学习平面向量使得我们对于其他数学知识点的学习更加轻松容易.而当用平面向量来解决数学中的难题时，可能会用到平面向量数量积这一概念，即两个向量的乘积.因此，学好平面向量数量积非常重要，它对于高中生数学知识的学习具有与平面向量同等重要的作用.

平面向量数量积，在高中数学教材中的定义为两个向量的乘积，它是两个向量的模与两个向量之间的夹角余弦的乘积，这一定义还可以转化为某一向量的模与另一向量在此向量方向上的投影的乘积.平面向量数量积是一个数，而不是向量.

二、平面向量数量积学习中的常见问题

平面向量数量积在数学中具有重要的作用，其广泛应用的情况我们都已知道.数量积表示的是一个数，而不是向量.然而，在我们具体学习数量积的时候，由于对平面向量的数量积的定义的认识不够深刻，不够全面，导致我们在具体理解数量积问题，以及用平面向量数量积来解决其他问题时会存在误用、用不好、学不好的问题.通过我对自身学习的总结以及对周围同学学习状况的观察，在具体学习平面向量的数量积问题时经常会出现以下几个常见问题.具体来说：

（一）平面向量与平面向量数量积

在学习中，我发现，经常有的学生在数量积的概念认识上存在误区，没有全面理解数量积到底表示什么，其有何意义，没有深入去挖掘定义中的内涵，而导致在具体解题过程中，经常出现错误.根据高中数学教材，平面向量数量积，如果针对向量a与向量b来表示的话，则是向量a的模与向量b的模相乘之后，再乘上两个向量之间的夹角的余弦值.因此，数数相乘之后必然仍是数，然而许多学生停留于向量层面，将平面向量的数量积与平面向量混同，认为平面向量表示向量，有大小，也有方向，那么，平面向量的数量积，作为两个向量的乘积，也应该是向量，也应该有大小和方向.殊不知两个向量之间的数乘与向量之间的相加、相减不同，它是两个向量的模与两个向量之间的夹角的余弦值相乘，数与数之间的相乘必然得到的是数，所以，也才叫数量积，而不是叫向量.在数学学习中，将平面向量数量积与平面向量弄混的结果就是无法正确解题，无法正确应用，阻碍高中数学的学习，产生排斥心理.

（二）平面向量的夹角

从平面向量数量积的公式中可以看出，向量a与向量b相乘时，不仅需要a与b的模相乘，还需要乘以向量a与向量b之间夹角的余弦值.因此，如何确定向量a与向量b之间的夹角对于计算两个向量之间乘积具有关键性意义.在数学学习中，我经常发现，许多学生在计算平面向量的数量积时，由于对于向量a与向量b之间夹角的认识存在误区而导致最终的计算结果错误.许多学生在确定向量a与向量b之间的夹角时，忽视了向量是有方向之分的，一个向量的起始点，要通过其方向来确定，同样，一个向量与另一个向量之间的夹角的确定也需要考虑到向量之间的方向，不同的向量与其他向量所形成的夹角是不同的.所以，在数学学习中，我们经常可以发现，由于没有注意到向量的方向，而错误地把向量的起点，作为向量的终点，导致两个向量之间的夹角确定错误，实际确定的夹角，是原来夹角的补角，所以，其结果必然是错误的.更有甚者，有的学生，不知道最起码的平面向量数量积的知识点，忽视了两个向量之间的夹角的范围是在0～180度之间，导致在解题中无法正确确定夹角.

（三）平面向量数量积的正负

平面向量数量积作为两个向量的模与其夹角的余弦值的乘积是有正负之分的.因为，向量a与向量b之间的夹角可以大于90度，这就意味着，两个向量之间夹角的余弦值可以为负值，因此，两个向量之间的模与负的余弦值的乘积必然是负值.在学习中，我总结了两点学生出错的情况：一方面，不理解为什么两个向量之间的乘积可以为负值导致在具体解题过程中出现困惑，产生迷茫，对于数学学习产生误区.另一方面，有些学生不能熟练掌握三角函数的基本知识，导致虽然可能正确确定了两个向量之间的夹角，但是，却将两个向量之间夹角的余弦值计算错了，最终使得平面向量数量积计算错误.

（四）平面向量数量积的应用

平面向量数量积在数学中具有重要作用，它可用来解答相关的三角、垂直、夹角、最值、不等式等数学问题[2].然而，在学习中，却经常发现，许多学生不能触类旁通，学习的迁移能力差，不知道用平面向量数量积来解决其他的数学问题，而将思维局限于平面向量方面的应用.如，高中数学中的立体几何具有一题多解的特点，经常可以跳出立体几何的解题思路，运用平面向量和平面向量数量积来解题.然而，许多学生的思维太局限，不能实现一题多解，经常被某一知识点的解题思路所束缚，缺少应用意识和创新意识，而这对于高中生数学的学习是极其不利的.

三、平面向量数量积学习中的常见问题及解决方法

當前，高中生在对于平面向量数量积的学习中常常存在着以下问题：对于平面向量数量积的认识不够到位，概念理解不够透彻，对于平面向量数量积的夹角的判断存在问题，对于数量积的正负认识不到位，而且即使完全掌握了还缺乏应用意识和应用能力.为此，我总结出了以下几个解决方法.

首先，针对许多学生将平面向量与平面向量的数量积弄混的问题，这就要求我们学生要加强对数学中基本概念与定义的理解.当前，学生对于数学的认识存在误区，认为数学就是做题，就是多练习，没有别的学习方法，这忽视了一个重要的问题，做题是为了什么而做？做题的目的何在？做题的目的在于理解知识点、运用知识点、理解透数学中的基本原理.因此，不要将数学看作做题，要摈弃这种简单的思维，要认识到一切的做题都是建立在概念的理解的基础上的，是对数学中基本概念与定义的应用.对于平面向量数量积的定义的理解要注意：平面向量数量积是数不是向量，两个向量之间的相乘，实际是他们的模与夹角余弦值的相乘，因此，其乘积必然是数量.只有正确认识平面向量之间的乘积，才能正确解题与运用.

其次，针对许多学生将向量之间的夹角确定错误的问题，其解决方法是，不要被数学中的基本图形所迷惑，将一个向量的起点当作终点，看向量，首先要看向量的方向，在确定向量方向的基础上，来确定夹角.因此，要特别注意向量的方向，通过每一个向量的方向来确定两个向量之间的夹角，同时，还要注意的是，向量之间的夹角范围是0-180度，没有超过180度的夹角.通过利用向量具有方向的特点来确定夹角可以确保正确确定余弦值.

再次，针对平面向量数量积的正负问题，其解决方法是要熟练掌握三角函数，尤其是其中的余弦定律，从而，在正确确定两个向量之间的夹角之后可以正确计算两个向量之间的夹角余弦值，得出正确的平面向量数量积.

最后，针对许多学生缺乏应用平面向量数量积的应用意识问题，其解决方法是，要进行有意识的训练与暗示.每当我们用一种方法解决一个问题之后，要下意识地想一下，这个数学题，如果用平面向量来解，能不能解呢.通过有意识地使用，打破固化的解题思维，这对于我们学生的创新思维以及创新意识的培养是极其重要的.

四、结束语

数学知识的学习绝不意味着练习越多越好，更重要的是要讲究方法与技巧，沿着正确的方向所做的努力才是有意义有效的努力.因此，我们无论是在学习平面向量数量积，还是在学习其他数学知识，都要秉持一个原则，以基本定义和原理为根，讲究技巧地进行练习，不讲究技巧，只追求练习的数量，那只会导致更多次的跌倒，而从来没有爬起来过.因此，我们在数学学习中要吃透基本概念，然后多加练习.同时，更为重要的是，要注意学习中的反思.通过经常性的反思与总结，可以梳理自己错误的原因、错误的思维，并通过揣摩正确的思维，而在头脑中建立正确的思考方式.

【参考文献】

[1]李凤.利用向量数量积的性质解题集锦[J].科技资讯，2013（25）：188-189.

[2]朱倍优.例谈向量数量积在解题中的运用[J].科技信息，2009（17）：169-170.