热孜亚·热吉甫

【摘要】高等数学是难度较大的课程，尤其是数学课程中的计算问题及证明问题成为数学学习的主要阻碍，概率论是研究随机现象数量规律的数学分支，实践证明如果在数学应用中合理地引入概率论不仅能够提高数学解题效率，而且还能提升学生的学习积极性.因此，本文结合教学经验，阐述概率论引入到高等数学中的具体应用体现，以此进一步完善概率论发展.

【关键词】概率论；高等数学；应用；效率

高等数学学习经常会遇到比较难的计算问题，如果不能找到科学的计算方法，不仅影响学生的学习兴趣，而且还会增加解题的步骤.概率论是研究随机现象数学规律的知识，实践证明在数学解题过程中合理地引入概率论可以将复杂的问题简单化，帮助学生快速地解答，进而激发学生的学习兴趣.因此，在高等数学的学习与应用中要巧妙地引用概率论以提高高等数学教学的效率.

一、概率论的概述

概率论是研究随机性和不确定性等现象的数学学科.概率论研究始于17世纪中期，是由瑞士数学家雅科比·伯努利在“伯努利大数定理”中提出的，并且随着概率论的不断发展，其应用的领域也在不断发展.概率论说明了理论与实践之间的密切关系，尤其是在数学领域内概率论已经得到全面的应用与发展，正如拉普拉斯所说：“生活中最重要的问题，其中绝大多数在实质上只是概率的问题.”在概率论中，概率分布是基础性概念，利用概率分布的性质可以进行化简.就是说，使用大于0而小于1的数字对某些事件发生的概率进行构造，然后按照概率分布解决实际问题.

二、概率论在高等数学中的应用

众所周知，高等数学部分内容的难度较大，如果采取传统的解题思路进行计算，不仅解题的步骤烦琐，而且得到的结果在准确性上也不高，甚至难度大的题目还会影响学生的学习积极性，久而久之则会导致学生对数学知识失去兴趣，将概率论引入到高等数学应用中，对简化解题步骤、降低题目难度都具有积极的意义.结合教学经验，概率论在高等数学中的应用具体体现在：

（一）概率论在高等数学不等式中的应用

概率论是研究偶然事件规律性的数学课程，通俗讲就是事件发生可能性的大小，随机事件就是在一定的条件下可能发生或者可能不发生事件.不等式是高等數学的重要知识点，也是学生普遍感觉学习困难的知识点，因此，将概率论应用到不等式中，是因为不等式与概率论存在某些相似性，例如，概率论的思想包含了对非等式问题的研究，都是对某些概率的规律总结与研究.下面通过以下例子进行说明.

例1求证：如果k=1，2，3，…，n；xk≥0，则x1x2x3…xn≤x1+x2+x3+…+xnn.

证明首先要建模，设随机变量ξ分布是P（ξ=xb），b=1，2，3，…，在存在xb=0的情况下，x1x2x3…xn≤x1+x2+x3+…+xnn显然是成立的，在全部的xb>0的情况下，定义函数f（a）=lna（a>0），那么f（a）=lna（a>0）就是上凸函数，则由f（E（ξ））≥Ef（ξ）：ln∏nb=1xb1n=1n∑nb=1lnxb=E（f（a））≤f（Ea）=ln（Ea）=ln1n∑nb=1xb.

两边分别取e作为底的指数，则可以得到

x1x2x3…xn≤x1+x2+x3+…+xnn.

（二）概率论在广义积分中的应用

概率论是解决广义积分问题的主要手段，也是在广义积分解题中应用比较成熟的方法之一.另外，在高等数学中求解级数是难度较大的题目，因此，更应注重数学期望与方差知识的引入，进而化简解题过程，得出结果.具体应用如下所示：

例2∑a223a-1，解答时构造服从于P=13几何分布的随机变量ξ，则P（ξ=a）=1323a-1；E（ξ）=3，D（ξ）=6.

显然Eξ2=E（ξ）2+D（ξ）=15，并且

Eξ2=lim∞n=1a21323n-1=13lim∞n=1a223n-1=15.

最终得出∑n=1a223n-1的值为45.

其次，解答高等数学问题时可变形被积函数，将其转变为正态分布随机变量的数学期望，再进行适当运算，便能顺利地解答出相关题目.

例如，求解：∫+∞-∞（4a2+5a+6）b-（a2+2a+3）da.

分析该题目可知原被积分函数中包含因式b-a2+2a+3），因此，可先对其进行适当整理，配方后得出b-2b-（a+1）2.观察可知其刚好属于σ=12，μ=-1正态分布概率密度函数的组成部分，所以=hb24（-1）2+122+5（-1）+6=7hb2.

最终得出原积分的数值为7hb2.

最后，计算积分时可采用分部计算法，但是利用该种计算方法需要多次运用分部积分法，同时还要进行极限的计算，因此，计算过程十分烦琐.为高效地解答出相关题目，可借助指数分布随机变量的数学期望解答相应题目，以降低解题难度.

（三）利用概率模型求解高等数学问题

例如，计算∑nk=2Cknxkyn-k（x>0，y>0）这一题目时，需首先对其进行分析.即依据不均匀规则将一枚硬币共抛出n次，每次硬币掉落在地面上时正面朝上的概率为P=xx+y，在上抛n次整个过程中出现正面次数用字母T表示，于是P={T=k}=CknPk（1-p）n-k（k=0，1，2，…，n），由分布规律理论可知：

1=∑nk=0P{T=k}=∑nk=0CknPk（1-P）n-k

=∑nk=0Cknxx+ykyx+yn-k.

最后便可顺利地得出该题目的计算结果：

∑nk=2Cknxkyn-k=（x+y）n-yn-nxyn-1.

三、结束语

很多高等数学题目难度较大，为降低解题难度，教学实践中教师应帮助学生正确理解概率论的相关概念，并积极地鼓励和引导学生使用概率论知识分析数学问题，寻找出简单的解题思路，进而提高解题效率，保证计算结果的正确性，帮助学生树立起解答数学问题的信心，逐步培养其学习高等数学的热情.

【参考文献】

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