APP下载

关于全期望公式的几点思考

2017-08-09刘小艳严钧

数学学习与研究 2017年15期
关键词:定积分

刘小艳 严钧

【摘要】本文考虑全期望公式与全概率公式、事件差的概率以及定积分的可加性之间的联系,我们得到全概率公式、事件差的概率以及定积分的可加性本质上都是全期望公式.

【关键词】全期望公式;全概率公式;定积分

全期望公式是概率论与数理统计中的一个重要的公式,它是运用条件期望的技巧来求解随机变量的数学期望.对于任意的随机变量X和可测函数g(x),事件A1,A2,…,An,…是完备事件组,我们有如下的离散情形的全期望公式:

E(g(X))=∑∞k=1E(g(X)·I{Ak})=∑∞k=1E(g(X)|Ak)P(Ak),

其中,对于任意事件A,I{A}称为事件A的示性函数,其定义为如果事件A发生,则I{A}=1,如果事件A不发生,则I{A}=0;E(g(X)|Ak)表示g(X)关于事件Ak的条件数学期望.特别地,如果(X,Y)是二维离散型随机变量,它们的联合分布律为{pij=P(X=xi,Y=yj),i,j=1,2,…},设Ak={Y=yk},k≥1,则离散情形的全期望公式变为

E(g(X))=∑∞i=1∑∞j=1g(xi)P(X=xi|Y=yj)P(Y=yj).

设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y),X,Y的边际密度函数分别为fX(x),fY(y),f(x|y)表示X关于Y的条件概率,f(y|x)表示Y关于X的条件概率,由重期望公式,我们可以得到如下的连续情形的全期望公式:

E(g(X))=E(E(g(X)|Y))=∫∞-∞∫∞-∞g(x)f(x|y)fY(y)dxdy.

全期望公式与全概率公式的关系:

全概率公式是概率统计中的一个重要的公式,离散形式的全概率公式的叙述如下:设B是一个事件,A1,A2,…,An,…是完备事件组,则有

P(B)=∑∞k=1P(BAk)=∑∞k=1P(B|Ak)P(Ak).

我们知道概率可以写成数学期望的形式,具体地,对于任意一个事件A,P(A)=E(I{A}),由此,离散形式的全概率公式可以写成如下的形式:

E(I{B})=∑∞k=1E(I{B}·I{Ak})=∑∞k=1E(I{B}|Ak)P(Ak).

也就是说,离散情形的全概率公式即为离散情形的全期望公式.对于连续情形的全概率公式我们有类似的结果.设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y),X,Y的边际密度函数分别为fX(x),fY(y),f(x|y)表示X关于Y的条件概率,f(y|x)表示Y关于X的条件概率,则连续形式的全概率公式为

fX(x)=∫∞-∞f(x,y)dy=∫∞-∞f(x|y)fY(y)dy,

这样,我们有

E(g(X))=∫∞-∞g(x)fX(x)dx=∫∞-∞g(x)f(x|y)fY(y)dy.

这就是连续情形的全期望公式.

全概率公式与事件差的公式的关系:

事件B和A的差B-A定义为B发生而A不发生这一事件.我们知道对于任意两个事件A和B,有P(B-A)=P(B)-P(AB),特别地,如果BA,则公式简化为P(B-A)=P(B)-P(A),因为此时我们有AB=A.我们可以证明P(B-A)=P(BA),其中A表示A的对立事件,即它们满足AA=,A∪A=Ω,所以由P(B-A)=P(B)-P(AB)可以得到P(BA)=P(B)-P(AB),即P(B)=P(BA)+P(BA),这就是全概率公式,因为A和A为对立事件.

全概率公式与定积分的联系:

设g(x)为区间[a,b]上的可积函数,c为任意常数,则

∫bag(x)dx=∫cag(x)dx+∫bcg(x)dx=∫bag(x)I{a≤x

設X~U(a,b),则上式可以写成数学期望的形式:

E(g(X))=E(g(X)I{B})+E(g(X)I{B}),

其中,事件B={a≤X

同理,我们可以证明E(g(X))=∑∞k=1E(g(X)I{X∈Bk}),这就是全期望公式.

【参考文献】

[1]茆诗松,程依明,濮晓龙.概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社,2011.

[2]李贤平.概率论基础[M].北京:高等教育出版社,2010.

[3]曹宇菁.全概率公式的推广及其应用[J].数学的实践与认识,2014,44(22):305-308.

[4]吴黎军.全概率公式注记[J].高等数学研究,2013,16(2):55-57.

猜你喜欢

定积分
定积分定义的几点简单应用
高职经济数学教学方法改革
浅议定积分的概念教学
无穷和式极限解法之我见
微课程在高等数学中的辅助作用
定积分换元法的一点教学体会
三重积分的计算方法
例谈定积分的几种解题方法