李涛

【摘要】本文针对整式分式函数积分问题概括了五种特殊的积分方法，熟练掌握和应用这五种方法对于解决这类分式函数的不定积分问题非常方便快捷，从而有利于进一步拓宽思路，大大提高不定积分的运算能力.

【关键词】整式分式函数；不定积分；方法

一、引言

不定积分是高等数学教材的一个重要知识点，整式分式函数求不定积分是微积分知识中的一个重点也是一个难点问题，在整式分式形式各异时，求不定积分的方法也不尽相同，很多学生在遇到求整式分式形式的函数不定积分时，不知该用哪种方法来解答，甚至不知如何入手.本文从分子、分母的特点出发，对整式分式形式函数求不定积分的方法进行了分类和总结.

二、方法分类

设f（x），g（x）为关于x的整式函数，下面对于计算不定积分∫f（x）g（x）dx时，常见情况进行分类讨论.

（1）当分子f（x）为多项式，分母g（x）为单项式时，直接拆项（用f（x）每一项除以f（x）），对每一项使用基本积分公式进行积分.

例1∫x3+2x2+3x+33x2dx=∫x3+23+1x+1x2dx

=x26+23x+ln|x|-1x+C.

（2）当分子f（x）为常数C，分母g（x）为不可因式分解的二次多项式时，把分母g（x）化简为“完全平方公式+正数”的形式（分母g（x）已经是“平方形式+正数”时，无须化简），然后使用直接积分法积分.

例2∫13x2+2dx=12∫132x2+1dx

=66arctan62x+C.

例3∫1x2-6x+13dx=∫1（x-3）2+4dx

=12arctanx-32+C.

（3）当分子f（x）为多项式或单项式，分母g（x）为可因式分解的二次多项式时，把分母g（x）因式分解后，拆项（拆成加法或者减法形式），然后对每一项进行积分.

例4（平方差公式型，拆成减法）

∫14x2-1dx=∫1（2x+1）（2x-1）dx

=12∫12x-1-12x+1dx

=14ln|2x-1|-14ln|2x+1|+C.

例5（十字相乘型，拆成减法）

∫1x2-3x+2dx=∫1（x-1）（x-2）dx

=∫1x-2-1x-1dx=ln|x-2|-ln|x-1|+C.

例6（十字相乘型，拆成加法）

∫2x-3x2-3x+2dx=∫2x-3（x-1）（x-2）dx

=∫1x-1+1x-2dx=ln|x-1|+ln|x-2|+C.

（4）当分子f（x）可凑成分母g（x）或g（x）中的乘积因子时，把分子f（x）先加上（减去）一个因子（可以是常数因子也可以是函数因子）配成g（x）或g（x）中的那部分乘積因子，而后减去（加上）一个相同因子，然后拆项，再积分.

例7（加上（减去）常数因子）

∫x23（1+x2）dx=∫x2+1-13（1+x2）dx

=∫x2+13（1+x2）-13（1+x2）dx=13x-13arctanx+C.

例8（加上（减去）函数因子）

∫1x6（1+x2）dx=∫1+x2-x2x6（1+x2）dx

=∫x2+1x6（1+x2）-x2x6（1+x2）dx

=-15x5-∫1+x2-x2x4（1+x2）dx=-15x5+13x3-1x-arctanx+C.

（5）当分子f（x）可凑成分母g（x）的微分，或者分子f（x）的一部分可凑成分母g（x）的微分时，凑完后积分，或者凑完拆项后积分.

例9∫2x+2x2+2x+2dx=∫1x2+2x+2d（x2+2x+2）

=ln|x2+2x+2|+C.

例10∫2x-1x2+2x+2dx=∫（2x+2）-3x2+2x+2dx

=ln|x2+2x+2|-3arctan（x+1）+C.

三、结语

对于形式为整式的分式函数求不定积分，应用这些方法可以顺利地、快速地、准确地计算出函数的积分来，但是一定要具体问题具体分析，根据分子、分母情况的特点来选择合适的方法，应多练习以求熟能生巧，更应注重方法和方法的结合.

【参考文献】

[1]同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2007：23-31.

[2]周志燕，程黄金.高等数学[M].沈阳：东北大学出版社，2014：11-15.