王鹤婷

【摘要】本文将复合Poisson分布下单一险种的风险模型推广为多险种同时发生的一个风险模型.模型中，保费收入是一个常数，m重险种在同一时刻发生索赔，索赔过程为复合Poisson过程.

【关键词】破产概率；鞅论；调节系数；复合Poisson过程

一、引言

精算是使保险行业合理运行的数学运算，并且是正常运行的数学基础.它基于概率理论和数学统计，结合人口、社会、经济等相关科学，评估风险事件，评估各种经济安全方案的未来财政收支和债务水平.基于稳定的财政发展，风险理论[1-5]作为精算数学的一部分是目前精算学和数学研究的热点话题.本文将经典复合Poisson风险模型推广到多险种同时发生赔付的一个模型.最后得出m重风险下的破产概率的具体表达式[6-8].

二、概念与模型

设（Ω，F，P）为一完备概率空间，并且u≥0，c>0.以下对象均假设定义在这个完备概率空间上，有

U（t）=u+ct-∑mj=1∑Nj（t）i=1Y（j）i，t≥0，（1）

S（t）=ct-∑mj=1∑Nj（t）i=1Y（j）i，t≥0.（2）

i=1，2，…；j=1，2，…，m，其中，

① Y（j）={Y（j）i，i=1，2，…}，j=1，2，…，m是取值于[0，∞）上的独立同分布随机变量；

② Nj={Nj（t）；t≥0}，j=1，2，…，m是参数为αj>0的Poisson过程；

③ 假定Y（j），Nj互相独立，则过程{U（t）；t≥0}称为复合Poisson分布下m重风险模型，过程{S（t）；t≥0}为盈利过程.

为保证保险公司的稳定经营，假定E[S（t）]>0，因为E[S（t）]=Ect-∑mj=1∑Nj（t）i=1Y（j）i=ct-∑mj=1αjμt>0.所以ct>∑mj=1αjμt，c>∑mj=1αjμ，所以c=（1+θ）∑mj=1αjμ，即c>∑mj=1αjμ，其中，μ=[-Y（j）i]<∞表示单位时间内保费高于每年支付额.定义安全负荷系数为θ=c∑mj=1αjμ-1>0，破产时刻T=inft>0{t；U（t）<0}，最终的破产概率为φ（u）=P{T<+∞|U（0）=u}，则生存概率为φ=1-φ（u）.

三、引理

引理1盈利过程（2）是右连续的随机过程，且满足下面的这些性质：

① E[S（t）]=ct-∑mj=1αjμt.

② 过程具有平稳独立增量.

证明根据随机概率方面的知识有：

① E[S（t）]=Ect-∑mj=1∑Nj（t）i=1Y（j）i

=E[ct]-E∑mj=1∑Nj（t）i=1Y（j）i

=ct-∑mj=1∑∞k=0P{Nj（t）

=k}∑ki=1（EY（j）i）

=ct-∑mj=1∑∞k=0（αjt）kk！e-αjt∑ki=1μ

=ct-∑mj=1kμ∑∞k=0（αjt）kk！e-αjt=ct-∑mj=1αjμt.

② 令X（t）=∑mj=1∑Nj（t）i=1Y（j）i，对任意0

S（t1）=ct1-X（t1），

S（t2）-S（t1）=c（t2-t1）-[X（t2）-X（t1）]，

…

S（tn）-S（tn-1）=c（tn-tn-1）-[X（tn）-X（tn-1）].

顯然，上式均是互相独立的.

对于任意t>0，s>0，有

S（t+s）-S（t）=[c（t+s）-X（t+s）]-[ct-X（t）]=cs-[X（t+s）-X（t）].

因为Y（j）={Y（j）i，i=1，2，…}，j=1，2，…，m具有相同的分布函数，所以

X（t+s）-X（t）=∑mj=1∑Nj（t+s）i=1Y（j）i-∑mj=1∑Nj（t）i=1Y（j）i

=∑mj=1∑Nj（t+s）i=1Y（j）i-∑Nj（t）i=1Y（j）i

=∑mj=1∑Nj（s）i=1Y（j）i=X（s）.

即X（t+s）-X（t）与X（s）具有相同的分布，故而S（t+s）-S（t）与S（s）具有相同的分布，所以{S（t）；t≥0}具有平稳独立增量.

证毕.

引理2复合Poisson过程X（t）=∑Nj（t）i=1Y（j）i的矩母函数为

φY（j）i（r）=exp{αjt[φY（j）i（r）-1]}.

引理3对复合Poisson分布下m重风险，存在g（r）使得

E[exp{-rs（t）}]=exp{tg（t）}.

其中，g（r）=-cr-∑mj=1αjt[φY（j）i（r）-1]，

E[exp{-rs（t）}]=exp{tg（t）}.

引理4方程g（r）=0存在唯一正解，称为调节系数，记为R.

证明已知g（r）=-cr-∑mj=1αjt[φY（j）i（r）-1]，则有

dg（r）g（r）=-c+α1∫+∞0xe-rxdFY（1）（x）+

α2∫+∞0xe-rxdFY（2）（x）+…+αm∫+∞0xe-rxdFY（m）（x），