张鹏飞，林建辉，何 刘

（西南交通大学牵引动力国家重点实验室，四川成都610031）

基于完全抗混叠DTCWPT和包络谱熵的轴承故障诊断

张鹏飞，林建辉，何 刘

（西南交通大学牵引动力国家重点实验室，四川成都610031）

针对经典小波包和双树复小波包（dual tree complex wavelet package transform，DTCWPT）能量泄漏和频率混叠的缺陷，提出完全抗混叠的DTCWPT改进算法，该算法解决了经典小波包存在负频率以及经典小波包和DTCWPT滤波器频率不完全截止问题。根据高斯白噪声频率充满整个频带的特性，通过小波包变换对高斯白噪声进行分解，利用频带能量泄漏的定量分析方法，验证了改进DTCWPT具有完全的抗频带能量泄漏特性。将改进DTCWPT方法和包络谱熵引入到轴承故障诊断中，该方法的核心是：对轴承振动信号进行改进DTCWPT变换得到不同尺度的分解信号，分别计算各分解信号的包络谱熵，合并熵值较小的几个分量信号的包络谱，最后根据合并的包络谱来检测轴承故障。该方法在消除经典小波包变换和DTCWPT频率混叠和能量泄漏的同时还解决了小波包分量选择盲目的问题。最后应用轴承故障试验数据对该方法进行试验验证，结果表明：改进DTCWPT结合包络谱熵选择的方法能够很好提取出轴承故障特征频率的基频、倍频，提高了轴承故障的诊断效果。

轴承；改进DTCWPT；能量泄漏；包络谱熵；故障诊断

轴承是旋转机械中的核心部件，起到承载、支撑的关键作用，直接决定了机械设备运行品质和运行安全。特别是随着我国工业机械化进程的进行，机械设备对轴承有更加高的要求。为了保障动力的安全传递，适应机械设备对轴承高可靠性的要求，开展轴承故障动态检测技术的研究显得十分迫切和必要。

在轴承故障诊断中，包络解调技术是最常用的信号处理方法[1-3]，在对信号进行包络解调前一般都要求先对振动信号进行滤波处理，而滤波器参数的选择对信号后期的包络解调效果有很大影响。目前，将小波包分解和包络解调有机结合的处理方法在机械故障诊断中得到广泛运用[4-7]。然而，经典离散小波包的小波滤波器存在负频以及其滤波器不能完全截止的缺陷[8-9]，使得其小波包分解存在较大频带能量泄漏等问题，这给后续的包络解调带来较大影响，甚至得不到理想结果[10-11]。

根据高斯白噪声在频域充满整个频带的特点，对高斯白噪声进行分解，利用能量泄漏对经典小波包和双树复小波包分解效果进行定量分析[12-13]。对比了经典小波包和DTCWPT（dual tree complex wavelet package transform）的能量泄漏情况发现，虽然DTC WPT在各个频带上的能量泄漏较小但是其泄漏依然存在。本文在分析其泄漏产生的原因后提出了改进DTCWPT分解和重构算法。分析发现，改进算法完全克服了经典小波包和DTCWPT分解的能量泄漏问题。最后，文章结合包络谱熵对信号的选择特性，提出了基于改进DTCWPT和包络谱熵选择的轴承故障诊断方法

1 双树复小波包变换滤波特性和能量泄漏分析

DTCWPT相对于DTCWT（dual tree complex Wavelet transform）具有更高的频率分辨率[14-16]，DTCWPT保留了DTCWT的优良特性，具有平移不变性、良好的方向选择性、较小的频率混叠以及较小的计算量等优点[8-9]。

1.1 经典小波包变换和双树复小波包变换滤波特性分析

小波变换是一种运用滤波算法对信号进行分解的方法，这相当于对信号进行低通和带通滤波。知道小波滤波器系数时，利用以下公式可以计算得到相应滤波器的幅频特性曲线[17]。

式中bi为滤波器系数。

本文以2层小波包分解为例，选择db4小波包分解和DTCWPT进行滤波特性的比较。2层分解中各个子频带滤波器系数由公式2、3、4、5得到，式中H（z）为尺度滤波器系数，G（z）为小波滤波器系数。A1（z）、A2（z）、A3（z）、A4（z）的滤波器中心频率依次增加。DTCWPT的滤波器系数计算由两支经典小波包滤波器系数计算得到其实部和虚部。图1和图2分别为db4小波包和DTCWPT 2层分解的滤波特性曲线。

图1 db4小波包滤波特性曲线

图2 双树复数小波包滤波特性曲线

比较图1和图2发现db4小波包滤波器在各个尺度上均有负频率，而DTCWPT滤波器仅存在很少负频率，并且该负频率会随着分解层数增加而进一步减少。该特性也就是DTCWPT比经典小波包分解具有抗频带混叠的根本原因[8]。

1.2 经典小波包变换和双树复小波包变换能量泄漏分析

为了定量分析经典小波包和DTCWPT分解的能量泄漏问题，本文利用高斯白噪声在整个频域内包含所有频率成分并均匀分布这一特性，利用DWPT（discrete wavelet package transform）和DTCWPT对高斯白噪声进行分解，并设定理论频带范围之外的频率成分为能量泄漏部分。构造标准差为1的高斯白噪声，其采样频率为8 000 Hz，采样点数为8 000.进行3层经典小波包和DTCWPT分解，分别得到8个分量。由Mallet算法可知，信号频率理论上被划分为[0，500]、[500，1 000]、[1 000，1 500]、[1 500，2 000]、[2 000，2 500]、[2 500，3 000]、[3 000，3 500]、[3 500，4 000]八个理想频带，而理想频带以外的频率成分为能量泄漏产生。首先求出各个分量的能量Ei，i＝1，2，…，8.而理想区间内的频率成分能量为Eio，i＝1，2，…，8，则能量泄漏强度为：

利用式6求得经典小波包和DTCWPT分解后频带能量泄漏强度如图3和图4所示，可以看出DTCWPT的各频带能量泄漏强度都小于经典小波包变换。较强的能量泄漏意味着理想频带范围之外存在着较多的频率成分，这对后续包络解调会产生很大的干扰。结合经典小波包和DTCWPT的滤波特性分析发现，DTCWPT能量泄漏小的主要原因是其小波包滤波器不存在较大负频率，然而在非负频率轴中，相邻两个滤波器间存在频率交叠的现象，这是导致DTCWPT依然存在能量泄漏的原因。为了更好地将DTCWPT运用到工程中，本文提出了改进DTCWPT算法，该算法保留DTCWPT方法优良特性的同时，消除了小波包滤波器间的频率交叠现象，达到完全抗频带混叠和抗能量泄漏。

图3 经典小波包各频带能量泄漏强度

图4 双树复小波包各频带能量泄漏强度

2 改进双树复小波包算法和仿真

2.1 改进双树复小波包算法及其频率特性分析

DTCWPT虽然改善了小波函数在负频率上的影响，但是由于小波滤波器不具有理想的频率截止特性，低通部分和带通部分在理论频率交界处都相互延伸到对方一段，这使得各个子带的频率成分都包含了相邻子带的频率成分，这也会造成频带混叠和能量泄漏。

为了改善小波滤波器不能完全截止问题，在分解过程中的各个滤波器后增加一个矫正滤波器。矫正滤波器作用是去掉小波滤波器中多余的频率成分，其算法思路为每次与小波滤波器卷积后，就对卷积结果做快速傅里叶变换，然后将频谱中多余的频率成分的谱值置零，再对置零后的频谱作傅里叶逆变换，以快速傅里叶逆变换的结果代替与小波滤波器卷积的结果，继续进行小波包分解与重构。其算法为图5所示，图中矫正滤波器ch，cg计算公式分别为式7和式8，矫正滤波器输出由式9计算得到。

图5 改进双树复小波算法

式中，Nj为第j层的数据点，w=，x（n）为第j层尺度上的小波或尺度系数，x軇（n）为矫正滤波器输出图6为改进DTCWPT滤波器特性曲线，分析图6发现，改进DTCWPT的滤波器在频率正半轴没有频率交叠。

图6 改进双树复数小波包滤波特性曲线

2.2 改进双树复小波包能量泄漏分析

同样用改进DTCWPT对标准差为1的高斯信号进行3层小波包分解，其各个频带的泄漏能量强度如图7所示，从图中可以发现改进DTCWPT各频带几乎没有能量泄漏，其最大泄漏强度不超过4×10-3，所以改进DTCWPT算法具有完全的抗频率混叠和能量泄漏的优势。

图7 改进双树复小波包各频带能量泄漏强度

3 基于小波包分解的包络谱熵

轴承出现局部故障时，其时域波形表现为周期性冲击的调制信号，为有效检测冲击的周期性，引入包络谱熵的概念[17]。

信号x（t）经小波包分解和单子重构后得到n个分量信号d（1k），d（2k），…，d（nk），其中n=2j，j为小波包分解层数，k=1，2，….计算n个分量的包络谱F1（k），F（2k），…，F（nk）.首先对包络谱做平方处理（改善谱线区分度）E（ik）=（k），得到各个包络谱分量的最大值Eimax和最小值Eimin，再将区间[Eimax，Eimin]划分为M个等长区间：[Eimin，a1]，[a1，a2]，…，[aM-1，Eimax].如果第i个分量的包络谱线的平方落在第m个区间[aM-1，am]的个数为N，各个分量谱线的个数为K，那么在该区间的谱分布概率为P（im）=N/K，则第i个分量信号的包络谱熵为：

4 基于改进DTCWPT和小波熵选择的轴承故障诊断模型

依据信号的采样频率，对信号进行以下几步处理：第一步，对振动加速度信号进行合适层数的改进DTCWPT分解和单子重构得到个分量；第二步，针对每个分量计算Hilbert包络和傅里叶变换；第三步，针对每个分量计算包络谱熵，并设定熵阈值；第四步，合并小于熵阈值的包络谱信号的频率轴。应用合并信号的傅立叶谱来检测轮对轴承故障。该检测模型如图8所示。

图8 轴承改进DTCWPT和包络谱熵选择的故障检测模型

5 轴承故障检测模型的实验验证

利用工程信号验证轴承故障检测模型的有效性，测试数据来源于某轴承试验台，测试轴承为SKF6205-2RS深沟槽滚动轴承，部分参数见表1.轴承上布置了内圈和外圈的单点故障，故障点直径为0.007 mm，深度为0.011mm.加速度传感器以垂直于地面方向安装在测试点上，信号采样频率为12 000 Hz，主轴的转速为1 797 r/min，轴承的回转频率为f=29.95 Hz.

轴承单点故障时的特征频率可由理论计算得到，公式14是轴承内圈故障特征频率的计算方法，公式15是轴承外圈故障特征频率fo的计算方法。

表1 SKF6205-2RS轴承主要参数

由公式14和表1可以计算得到在转速为1 797 r/min时轴承内圈的故障特征频率fo=107.36 Hz.图9为轴承外圈故障时域图，图10为外圈故障信号的傅里叶谱。从图10中可以发现轴承外圈故障特征频率，但是由于噪声影响主轴转频和轴承外圈故障特征频率的谐波分量被淹没在噪声中，仅靠幅值很小的一个故障特征频率谱线很难对轴承故障下结论。同样用本文提出的故障检测模型对外圈故障数据进行处理，其层改进DTCWPT处理后各个分量信号（频率由低到高）的包络谱熵如图11，具体的熵大小见表2.轴承外圈出现故障时，滚动体每次经过故障点都会产生振动冲击，故障信号表现为高频振动与故障特征信号互相调制现象，所以此时信号中高频部分表现出规律性和有序性，其对应的包络谱熵值变小，而该信号低频处故障特征信息不明显，其无序性最强，相应的包络谱熵值也最大，各个分量信号频带由低频向高频过渡时必然出现包络谱熵值由大到小的变换，包络谱熵值由大变小必然是信号更有序的表现，若只关注信号由无序变有序过程只需关注包络谱熵值由大到小的变化值，即关注相邻频带包络谱差值的负值（正值无关计为0）。该变换曲线定义为包络谱熵下坡线。图11的包络谱熵下坡线为图12所示，包络谱熵差值在点3处最小（峰谷）也就是频率分量由3过渡到4，信号由无序变为有序最明显。所以最佳包络谱熵阈值大小应小于频带分量3的包络谱熵（0.027 0），合并包络谱熵小于0.027 0的小波包节点包络谱如图13所示。

图9 外圈故障时域图

图10 外圈故障傅里叶谱

图11 外圈故障信号DTCWPT包络谱熵

表2 内圈故障信号各个频带包络谱熵

图12 包络谱熵下坡线

图13 改进DTCWPT-包络谱熵选择处理后的傅里叶谱

从图14中可以清楚发现轴承转频、倍频、外圈圈故障特征频率及其倍频，其谱线清晰明了，这些特征能很好断定轴承状态。该方法与原始信号直接包络谱分析（图15）对比发现，直接包络谱方法虽然也检测到了转频和外圈故障特征频率及其2倍频，但是其特征频率高阶谐波凸显不佳。故障冲击显著时的频谱会表现出更多高阶谐波，而直接包络谱分析显然对高阶谐波检测能力不足，并且直接包络谱方法检测出的特征谱线比本文方法检测到的特征谱线幅度小，这不利于低信噪比故障信号的检测。而本文方法不仅检测到了故障特征频率的高阶谐波，还增强了各个特征谱线，相对于传统直接包络谱方法具有更强的检测能力。

图14 外圈故障直接包络谱图

图15 内圈故障直接包络谱图

6 结束语

本文在改进DTCWTP的同时，将包络谱熵理论引入到轴承故障检测中，具有很好的工程运用价值。该方法概括起来具有以下特点：

（1）DTCWTP与经典小波包变换相比，其滤波器不存在负频率成分，使得DTCWTP具有近似平移不变性和抗频率混叠。但是DTCWTP和经典小波一样，其滤波器在截止频率处不能完全截止，在相邻分解尺度频率间存在严重的频率混叠和能量泄漏；

（2）改进DTCWTP的滤波器不存在经典小波包滤波器的负频率，并且其滤波器在截止频率处完全截止，使得改进DTCWTP在相邻尺度分解中不存在频率泄漏和频率混叠的缺陷，其能量泄漏几乎为零；

（3）包络谱熵反应解调谱对应时域波形的有序性和周期性。包络谱熵越小，其原始信号周期性冲击越明显，这为小波包分解后分量信号的选择提供了理论依据；

（4）改进DTCWTP与包络谱熵相结合的轴承故障诊断方法，能够有效检测出故障基频、倍频等关键振动模式和振动特征，具有重要的工程意义。

[1]田涛，丁康.希尔伯特变换及其在故障诊断中的应用[J].振动与冲击，1996，15（2）：24-27.

[2]王延春，谢明，丁康.包络分析方法及其在齿轮故障振动诊断中的应用[J].重庆大学学报，1996，18（1）：87-91.

[3]丁康，谢明，张彼德，等.复解析带通滤波器及其在解调分析中的应用[J].振动工程学报，2000，13（3）：385-392.

[4]牟世刚，冯显英，晏志文.基于小波分析的动平衡机不平衡量提取方法研究[J].山东大学学报，2011，41（3）：62-66.

[5]巩晓赟，韩捷，陈宏，等.全矢小波包－包络分析方法及其在齿轮故障诊断中的应用[J].振动与冲击，2012，31（12）：92-95.

[6]柴保明，吴治南，赵志强，等.基于小波包包络分析的滚动轴承故障诊断[J].煤矿机械，2015，36（1）：283-285.

[7]唐贵基，蔡伟.应用小波包和包络分析的滚动轴承故障诊断[J].振动、诊断与测试，2009，29（2）：201-204.

[8]Kingsbury N G.Complex wavelet for shift invariant analysis and filtering of signals[J].Applied and computational har monic analysis，2001，10（3）：234-253．

[9]Selesnick IW，Baraniuk R G，Kingsbury N G.The dualtree complex wavelet transform[J].Signal Processing Maga zine，IEEE，2005，22（6）：123-151．

[10]胥永刚，孟志鹏，赵国亮等.基于双树复小波包变换能量泄漏特性分析的齿轮故障诊断[J].农业工程学报，2014，30（2）：72-77.

[11]Wang Yanxue，He Zhengjia，Zi Yanyang.Enhancement of signal denoising and multiple fault signatures detecting in rotating machinery using dual-tree complex wavelet trans form[J].Mechanical Systems and Signal Processing，2010，24（1）：119-137.

[12]Wu Zhaohua，Huang N E.A study of the characteristics of white noise using the empirical mode decomposition method [J].Proc.R.Soc.Lond.A，2004（2046）：1597-1611.

[13]曹冲锋，杨世锡，杨将新.基于白噪声统计特性的振动模式提取方法[J].机械工程学报，2010，46（3）：65-70.

[14]吴定海，张培林，任国全，等.基于双树复小波包的发动机振动信号特征提取研究[J].振动与冲击，2010，29（4）：160-164.

[15]艾树峰.基于双树复小波包变换的轴承故障诊断研究[J].中国机械工程，2011，22（20）：2446-2451.

[16]胥永刚，孟志鹏，陆明.基于双树复小波包变换的滚动轴承故障诊断[J].农业工程学报，2013，29（10）：49-56.

[17]潘玉娜，陈进.包络谱熵在滚动轴承性能退化评估中的应用[J].上海应用技术学院学报（自然科学版），2014，14（3）：220-223.

Diagnosis O f Bearing Fault Based On Comp lete Anti-Aliasing DTCWPT And Envelope Spectrum Entropy

ZHANG Peng-fei，LIN Jian-hui，HE Liu
（Southwest Jiaotong University，State Key Laboratory of Traction Power，Chengdu 610031，China）

A new improved algorithm of the complete anti-aliasing dual tree complex wavelet package transform（DTCWPT）is proposed aiming at the energy leakage and frequency aliasing existing in classical wavelet package transform or DTCWPT.The improved algorithm solves the problem of negative frequencies existing in classic wavelet and the problem of the frequency of filter being incomplete cutoff in classic wavelet transform and DTCWPT.According to the characteristics of gaussian white noise，whose frequency is full of the whole frequency band，the gaussian white noise was decomposed by a wavelet packet transform，and the parts with energy leakage were regarded as a theoretical part band beyond the range of the frequency components.Then the lower energy leakage characteristic of improving DTCWPTwas verified by a quantitative analysismethod of frequency band energy leakage.The improved DTCWPT and envelope spectrum entropy was introduced into the fault detection of bearing.The vibration signals of bearing were decomposed through the improved DTCWPT to get the different scale decomposition signal.The envelope spectrum entropy of decomposition signal was calculated，and the envelope spectrums of several component signals that has small spectrum entropy were selected tomerge.Themerged envelope spectrum was applied to detect fault of bearing.The new method solves the problem of frequency aliasing and energy leakage existing in classical wavelet packet transform or DTCWPT and it solves the problem of the unreasonable choice of wavelet packet component at the same time.The method was verified by the test data of bearing fault，the results showed themethod of improved DTCWT and envelope spectrum entropy can effectively detect the fundamental frequency and frequency multiplication caused by the fault of bearing and improve the effect of bearing fault diagnosis.

bearing improved DTCWPT；energy leakage；envelope spectrum entropy；fault diagnosis

U211

A

1672-545X（2017）04-0144-06

2017-01-25

国家自然科学基金项目（61134002，51305358）；精密测试技术及仪器国家重点实验室开放课题（PIL1303）

张鹏飞（1990－），男，河北廊坊人，硕士研究生，主要研究方向为非线性非平稳信号处理；林建辉（1964－），男，福建莆田人，博士生导师，主要研究方向为铁路机车车辆设计安全检测技术和试验研究以及机械设备故障诊断；何刘（1990－），男，四川绵阳人，硕士研究生，主要研究方向为非线性非平稳信号处理。