广东省深圳市第二实验学校 黄 云

一、问题的提出

“功能固着”是一类思维定势。就是当一个人熟悉了某种物体的常用或典型的功能后，就很难看出该物体所具有的其他潜在的功能。当需要利用某一物体的潜在功能来解决问题时，“功能固着”可能起到阻碍的作用。“功能固着”给学生在运用数学思想解题带来的主要影响有：函数与方程的不等价转化，转换与化归出现缺漏，数形结合出现偏差等。帮助学生消除“功能固着”心理，为更好地运用数学思想解题提供帮助。

二、困惑及成因分析

（一）运用函数与方程思想出现的困惑

在利用函数与方程思想时，学生不能将函数与方程（不等式）有机地联系起来综合考虑问题，受“功能固着”心理的影响，即便想到了函数与方程的结合，有时也不能简洁和完整的实施两者的等价转化，导致解题过程中思维受阻、无功而返或是出现不该出现的低级错误。

1.函数问题转化成方程问题不等价导致困惑

例1.已知函数若函数在上的值域是求实数m的取值范围。

困惑1：发现当x>0时，函数为增函数，后续没有了思路。

困惑2：将a,b看成方程的两个大于2的不等实数根，再对m>0和m<0来讨论一元二次方程的根，由于过程繁杂，无力继续，半途而废。

困惑3：就将a,b看作方程也即化简得的两个不等实数根，由解得答案不完备。

成因分析：困惑1属于知识结构不完整所造成的。要想办法将问题实施转化，构建关于m的不等式。困惑2属于不等价转换造成的。没有将a,b看作是方程的两个大于2的不等实根，忽视了函数的定义域；困惑3的产生是因为忽视了函数的值域。缺失对条件的挖掘，没能得出隐含条件m>0，导致讨论复杂化，没能求出实数的取值范围。 事实上，当x>0时，函数为增函数，a,b可以看作方程的两个不相等且大于2的实数根，由二次函数的零点的分布，令通过挖掘隐含条件得m>0，所以只需考虑一种情况m>0。当m>0时，易得即为所求。

2.方程问题转化成函数问题不等价导致困惑

例2.已知直线和双曲线的左支交于A,B两点，直线l过点和线段AB的中点M，求l在y轴上的截距b的取值范围。

困惑1：联立方程，利用中点坐标公式及由P，M均在直线上l，从而写出直线l的两点式方程并令x=0得l在y轴上的截距也可利用三点共线求得b，后续不知如何转化求解，到此而终。

困惑2：求得b后，

困惑3：求的最值，考虑定义域，即k的范围。由方程求得求得错误答案

成因分析：困惑1属于求解二次函数值域的方法不熟而受阻；困惑2没有考虑的定义域；困惑3面对于缺失考虑了为分母，没有去掉的情况导致错误。事实上，当求得时，还要兼顾为分母，剔除=0的情形，这样就能很容易获得正确的答案：b>2或

（二）运用转换与化归思想出现的困惑

利用转换与化归的思想可以化抽象为具体、化运动为静止、化复杂为简单、化陌生为熟悉，从而起到优化解题过程促进思维发展的作用。转换与化归也包括数学语言（文字语言、符号语言、图形语言）的相互转换，要剔除“功能固着”的影响，防止出现缺漏。

1.找不到转化点导致的困惑

例3.已知数列满足：

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若数列满足：求数列的通项公式。

困惑1：熟悉求通项问题不知如何入手。

困惑2：由两式相减得的奇数项和偶数项分别是公差为4的等差数列，但后续求解作罢。

困惑3：利用条件来求bn，似曾相识，没有找到转化方法；采用“归—猜—证”的方法，没有找到规律，没能求出的通项公式。

困惑4：求得后将其代入得再用n-1替换上式的n，两式相减得，答案不全。

成因分析：困惑1属于思维受阻。无法实现转化；困惑2需要加强分类讨论的训练；困惑3 由与两式作差求bn，最快捷的办法，要注意否则会出错。事实上，（Ⅰ）法一：直接对进行配凑；法二：对分奇偶讨论；法三：采用“归—猜—证”，都可求得解答（Ⅱ）的思路有：其一，用n-1替换n两式相减，注意n≥2。 其二，采用“归—猜—证”求bn，排除后b1=7，从b2开始找规律，很快获得答案。

2.找不到化归点导致的困惑

例4.设函数上至少存在一个零点，求的最小值。

困惑1：至少存在一个式成立，即在上至少有一个实数根，对a>0和a<0讨论来确定a,b再求的最小值。难以进行。

困惑2：将方程改写为转换角度看问题，即为原点O到点直线上任意点找不到转化路径。

成因分析：困惑1没有将问题实施有效的转换，需要加强对问题的化归转换能力的培养。 困惑2能成功地将问题实施了有效的转化，变换主元将二次方程化归成了一次方程，很有价值！但后续没能找到如何将转化为的函数的路径。事实上，为原点O到点直线上任意的距离，如图1所示过原点O作直线的垂线，垂足为Q,有转化为t函数，所以因为需求最小值即可。两种基本方法：其一，求导；其二，对换元转化，都可求得

（三）运用数形结合的思想的困惑

数形结合包括“以形助数”和“以数解形”。利用这一思想能使问题直观化。 受“功能固着”的影响，许多学生在“以形助数”中，容易出现对应的图形不全面、不精确、不等价而导致困惑；而在“以数解形”中，会在设置数量关系构建代数模型上产生困惑。

1.“以形助数”的不完备出现困惑

例5．记集合

Q =表示的平面区域P分别为区域Q和区域，表示的平面区域为区域M,若向区域Q内撒一枚幸运小花朵，则花朵落在区域M内的概率为_________。

困惑：作出区域Q、P和M，作图不完备，导致结果错误

成因分析：要能准确完备地画出P和Q所表示的区域,如图2所示，表示的平面区域M为图中阴影部分，根据对称性，求得概率是

2.“以数解形”的不纯粹出现困惑

例略。

三、感悟与体会

在利用数学思想解题过程中，教师要帮助学生消除解题过程中产生“功能固着”心理的不利影响，培植正确使用数学思想解题的能力。要让学生明白：函数与方程问题要扣住“两个优先”即函数定义域优先和方程根的范围优先考虑。在使用转换与化归思想解题时，要让学生清楚：转化的目标是什么？谨防转化缺漏。在实施数形结合过程中，要确保数形互化的完备性和纯粹性。在教学中重视数学思想的渗透与培养，是提升学生综合素养的关键之所在。