陈良云

(东北师范大学 数学与统计学院,吉林 长春 130024)

Hom-李型代数的若干结果

陈良云

(东北师范大学 数学与统计学院,吉林 长春 130024)

近十年来,Hom-李型代数的研究取得了一些进展.主要介绍Hom-李代数、Hom-李超代数、Hom-李color代数、Hom-Hopf代数的最新研究成果.

Hom-李代数; Hom-李超代数; Hom-李color代数; Hom-Hopf代数

Hom-型代数是在原有代数基础上,将其定义代数的等式用一个或几个线性映射(称为扭曲映射)进行扭曲,从而得到的一类新的代数.当扭曲映射是恒等映射时,Hom-型代数为原来的代数.2006年,J.Hartwig等[1]引入了Hom-李代数的概念,目的是刻画Witt代数和Virasoro代数的q-形变.Hom-李代数本质上就是李代数的某种形变,而考虑形变李代数的想法并非始于Hom-李代数,更早些时候,就已经有国内外的学者对此进行了研究[2-6].经过十年的发展,Hom-李代数的研究结果很丰富[7-12].目前Hom-李代数的思想已经应用到很多经典的代数中,得到如下Hom-型代数：Hom-结合代数[9]、Hom-李超代数[13]、Hom-李三系[14]、Hom-李color代数[15-17]、Hom-Novikov代数[18]、Hom-prelie代数[19]、n-元Hom-Nambu-李代数[20-22]、n-元Hom-Nambu-李超代数[23]、Hom-Jordan李代数[24]、Hom-Lie-Yamaguti代数[25]、Hom-Leibniz代数[26]、Hom-李Rinehart代数[27]、Hom-Jordan李代数[28]、Hom-李共形代数[29]、限制Hom-李代数[30]、Hom-李2-代数[31]、BiHom-李代数[32]、Hom-Hopf代数[33-34]等.由于Hom-型代数与理论物理、Yang-Baxter方程、辫子群和量子群等有密切联系,人们得到了许多重要成果[13,23,25,32,35-43].本文将介绍Hom-李代数、Hom-李超代数、Hom-李color代数、Hom-Hopf代数的最新研究成果.

1 Hom-李代数

1.1 定义及例子

定义 1.1.1[10]设(L,[·,·],α)是一个三元组,其中L为数域K上的线性空间,二元运算[·,·]:L×L→L满足双线性性,α:L→L是线性映射.若∀x,y,z∈L,有:

(a) [x,y]=-[y,x],

(b) [α(x),[y,z]]+[α(y),[z,x]]+[α(z),[x,y]]=0,

则称(L,[·,·],α)为Hom-李代数.等式(b)称为Hom-Jacobi恒等式.若α([x,y])=[α(x),α(y)],则Hom-李代数称为保积的.

注 1.1.2 在上述定义中,当α=id时,Hom-李代数退化为李代数.

例 1.1.3[7]设{x1,x2,x3}是3维向量空间L的一组基.在L上定义的[·,·]和线性映射α如下:

经验证,

故上面定义的Hom-李代数不为李代数的充分必要条件是a≠0,c≠0.

例 1.1.4[7]设{x1,x2,x3}是sl2的一组基.定义方式如下：

其中q∈K是参数.易知,它是Hom-李代数,但不是李代数.若q=1,退化为李代数的sl2.

定义 1.1.5[10]设(L,[·,·],α)是保积的Hom-李代数,V是K上的向量空间,A∈gl(V).V称为关于A的(L,[·,·],α)-模,若存在双线性映射ρA:L→gl(V),使得∀u,v∈L,满足:

则ρA称为(L,[·,·],α)关于A在V上的表示.

1.2 在半单李代数上的Hom-结构在这部分给出在半单李代数上的Hom-结构,设K是特征为0的代数闭域.

定义 1.2.1[44]设(L,[·,·])是李代数,若线性映射σ:L→L满足Hom-Jacobi恒等式,称σ为李代数(L,[·,·])上的Hom-结构.

注 1.2.2 HS(L)为在李代数L上全体的Hom-结构构成的集合.

定理 1.2.3[8]设L是有限维单李代数.如果(L,σ)是Hom-李代数,则σ=id,即在单李代数上的Hom-结构是平凡的.

对于上述结果,文献[44]用归纳的方法和GAP软件重新刻画了在半单李代数上的Hom-结构,并更正定理1.2.3:对于sl2,Hom-结构是非平凡的.具体结果如下:

定理 1.2.4[44]设L是域K上有限维单李代数.

(i) 若L≅sl2,则

HS(L)=HS(sl2)=

(ii) 若Lsl2,则HS(L)=Kid.

注 1.2.6 HS(sl2)是6-维的Jordan代数,其中在L上的乘法运算为

故由定理1.2.5得,对于任意有限维半单李代数L,HS(L)是Jordan代数.

1.3 Hom-李代数的泛包络代数和PBW定理文献[11]利用加权树构造了自由Hom-非结合代数,得到了Hom-李代数的泛包络代数.类似李代数,也想得到Hom-李代数的Poincaré-Birkhoff-Witt定理.由于加权树的局限性,用这种构造方法很难得到Hom-李代数的Poincaré-Birkhoff-Witt定理.最近,文献[45]构造了自由对合的Hom-结合代数,文献[46]修改了文献[45]中自由对合的Hom-结合代数的构造,不同于文献[11]的构造方法给出了新的Hom-李代数的包络代数,进而给出了Hom-李代数的Poincaré-Birkhoff-Witt定理.接下来先给出基本的定义.

定义 1.3.1[46](a) Hom-模是一个二元组(V,αV),V是K-模,αV:V→V是线性映射.

(b) 设(A,·,αA)是一个三元组,其中A是K-模,·:A⊗A→A是线性映射,保积的线性变换αA:A→A满足下面的等式:

(e) 设(V,αV)和(W,αW)是Hom-模.线性映射f:V→W称为Hom-模同态,如果

(f) 设(A,·,αA)和(B,*,αB)是Hom-结合代数.线性映射f:A→B称为Hom-结合代数同态,如果

最后,定义典范包含映射

得到下面结论：

定理 1.3.3[46]设(V,αV)是对合Hom-模,则:

在给出对合的Hom-李代数的泛包络代数构造和Poincaré-Birkhoff-Witt定理之前,先给出Hom-李代数的泛包络代数的定义.

是Hom-结合代数.设

则(Uh(L),φ0)是L的泛包络Hom-结合代数.在同构意义下,L的泛包络Hom-结合代数是唯一的.

在给出Poincaré-Birkhoff-Witt定理之前,定义线性算子

(1)

其中

定义JL,β如下

(2)

可得到

有下面结论成立:

2 Hom-李超代数

2.1 定义及例子

定理 2.1.1[47]Hom-李超代数(g,[·,·],α)是一个三元组,由一个Z2阶化的向量空间g,一个偶的双线性映射[·,·]:g×g→g和一个偶同态α:g→g组成,满足以下的超对称性和Hom-Jacobi等式:

(a) [x,y]=-(-1)|x||y|[y,x],

(b) (-1)|x||z|[α(x),[y,z]]+(-1)|y||x|[α(y),[z,x]]+(-1)|z||y|[α(z),[x,y]]=0,

其中,x、y和z为g中的齐次元,|x|表示齐次元x的次数.若α([x,y])=[α(x),α(y)],则Hom-李超代数称为保积的.

注 2.1.2 在上述定义中,当α=id时,Hom-李超代数退化为李超代数.

例 2.1.3[48]设osp(1,2)=V0+V1是李超代数.V0由H、X、Y张成的子空间,其中

V1由F、G张成的子空间,其中

它们之间的乘法关系定义如下：

定义线性映射α:osp(1,2)→osp(1,2)如下：

此时,得到

是Hom-李超代数.

2.2 Hom-李超代数的表示与上同调设(g,[·,·],α)是Hom-李超代数,V=V0+V1是K上的向量超空间,β∈gl(V)是V上偶的线性映射,并且

是一个偶双线性映射满足[gi,Vj]⊂Vi+j,其中i,j∈Z2.

定义 2.2.1[47]三元组(V,[·,·],β)称为在Hom-李超代数g上的Hom-模或g-Hom-模V,若存在双线性映射[·,·]V,使得任意的齐次元素x,y∈g,v∈V,满足

称(V,[·,·]V,β)为g的表示.

类似文献[10]中李代数的上同调理论,给出Hom-李超代数的上同调[47].

设(g,[·,·],α)是保积的Hom-李超代数.用|(x1,…,xk)|=|x1|+…+|xk|表示gk中元素的次数.

若k-线性映射f:gk→V是斜超对称的,则称f是g上的k阶-上链.用Ck(g,V)表示全体k阶上链构成的集合.

若

是偶的((x1,…,xk)是奇的),称f是偶的(奇的).

若k阶-上链f∈Ck(g,V)满足A∘f=f∘α,即

下面给出上循环、余边界算子和同调群的概念.

定义 2.2.3[47]设(g,[·,·],α)是Hom-李超代数,(V,[·,·]V,β)是Hom-模,称

分别表示偶和奇k阶上循环.相应的定义偶和奇上边缘算子

对于Hom-李超代数的表示与上同调的应用,将在介绍Hom-李color代数时给出.

2.3 在单李超代数上的Hom-结构在这部分,给出在单李超代数上的Hom-李超代数的结构,设C是复数域.由于有限维单李超代数只有经典型和cartan型，故在研究有限维单李超代数上的Hom-结构只需研究这2类即可.在文献[49]中,作者给出了在有限维单李超代数上的Hom-保积的李超代数结构为0或恒等自同构.文献[50]作者给出了在有限维单李超代数上的非保积的Hom-结构是平凡的,即Hom-结构是纯量的.

定义 2.3.1[50]设(g,[·,·])是李超代数,若线性映射σ:g→g使得(g,[·,·],σ)是(保积的)Hom-李超代数,称σ为李代数(g,[·,·])上(保积)的Hom-结构.

注 2.3.2 HS(g)为在李超代数g上全体的Hom-结构构成的集合,MHS(g)为在李超代数g上全体保积的Hom-结构构成的集合.

定理 2.3.3[49-50]设g是C上有限维的单李超代数,则:

(a) HS(g)=Cid；

(b) MHS(g)={0,id}.

文献[42]给出了8类无限维李超代数的Hom-李超代数结构是纯量的,更进一步,8类无限维李超代数的保积的Hom-李超代数结构要么是零,要么是恒等自同构.用X表示W、S、H、K、HO、KO、SHO、SKO,有下面结论：

定理 2.3.4[42]无限维李超代数X(m,n)的Hom-李超代数结构是纯量的.

定义 2.3.5[42]无限维李超代数X(m,n)的保积Hom-李超代数结构要么是零,要么是恒等自同构.

文献[51]给出了例外的单李超代数的Hom-李超代数结构是平凡的.

3 Hom-李color代数

3.1 定义及例子

定义 3.1.1[17]设G为一个交换群.则映射ε:G×G→K{0}称为G的一个反对称双特征标(或交换因子),如果∀f,g,h∈G,

在本文中,如果x,y,z为一个G-阶化向量空间的齐次元素,那么|x|,|y|,|z|∈G定义为它们各自的次数,用ε(x,y)代替ε(|x|,|y|),用ε(x,y+z)代替ε(|x|,|y|+|z|)等.此外ε(x,y)表示x,y为齐次元素.

定义 3.1.2[17]一个Hom-李color代数是一个四元组(A,[·,·],α,ε),由一个G-阶化的向量空间A,一个双特征标ε,一个偶的双线性映射[·,·]:∧2A→A(即[Aa,Ab]A⊂Aa+b)和一个偶同态α:A→A组成,使得对任意的齐次元素x,y,z∈A都满足:

注 3.1.3 当α=idA时,得到李color代数.李color代数是李代数和李超代数的一个泛化(如果G={0},有A=A0是一个李代数,如果G=Z2={0,1}且ε(1,1)=-1,则A是一个李超代数).Hom-李color代数也可以被看做为Hom-李代数和Hom-李超代数的扩展.

例 3.1.4[17]设sl(2,K)是3维单李代数,具有下面一组基:

定义双特征标ε:G×G→K{0}

考虑偶同态α:sl(2,K)→sl(2,K),定义如下：

则(sl(2,K),[·,·]α=α∘[·,·],α,ε)是Hom-李color代数.

3.2 Hom-李color代数的表示与上同调设(A,[·,·],α,ε)是Hom-李color代数,V是G-阶化向量空间,β∈gl(V)是V上偶的线性映射,并且

是一个偶双线性映射满足[Ai,Vj]V⊂Vi+j,其中i,j∈G.

定义 3.2.1[15]三元组(V,[·,·],β)称为A-模,若存在双线性映射[·,·]V,使得任意的齐次元素x,y∈A,v∈V,满足:

称(V,[·,·]V,β)为A的表示.

例 3.2.2[16]设(A,[·,·]A,α)是Hom-李color代数.线性映射ad：A→gl(A)定义如下

则(A,ads,α)是A的表示.称此表示为Hom-李color代数A的伴随表示.

例 3.2.3[16]设(A,[·,·]A,α)是Hom-李color代数.对任意整数s,线性映射ads：A→gl(A)定义如下

则ads是正则Hom-李color代数(A,[·,·]A,α)的表示.称此表示为正则Hom-李color代数(A,[·,·]A,α)的αs-伴随表示.

对于Hom-李color代数,只给出余边界算子的定义,类似李超代数可以给出相应的上同调定义.

为了研究表示和上同调的应用,定义系数属于A的A上的k-hom上链集合为

特别地,0-hom-上链定义为

3.3 表示和上同调的应用

3.3.1Hom-Nijienhuis算子 这部分介绍Hom-李color代数的Hom-Nijienhuis,在文献[10,13]中,给出了Hom-李代数和Hom-李超代数的Hom-Nijienhuis.

由于ψ与α交换,则对于每一个t来说α都是关于扩积[·,·]t的同态,如果对于所有的扩积[·,·]t,(A,[·,·]t,α)都具备正则Hom李超代数结构,那么说ψ产生了一个关于正则Hom李超代数(A,[·,·]L,α)的有限维的形变.通过计算关于[·,·]t的Hom-Jacobi等式成立等价于ψ自身必须具备L上的Hom-李超代数结构和d-1ψ=0.

其中括积[·,·]N定义为

获得.此外,这个有限维形变是平凡的.

3.3.2T*-扩张 这部分介绍Hom-李color代数的T*-扩张,T*-扩张的方法在文献[52]中就已引入,并且这种代数的T*-扩张是二次的.文献[13,16]给出了Hom-李超代数和Hom-李color代数的T*-扩张.

定理 3.3.3[16]设(A,[·,·]A,α,ε)为一个Hom李color代数.A上的一个双线性型f是不变的,如果f满足

称f为非退化的,如果它满足

称f为ε对称的,如果它满足

一个A的子空间I称为迷向的,如果I⊆I⊥.

定理 3.3.4[16]Hom-李超代数(A,[·,·]A,α,ε)上的双线性f称为color对称的,如果它满足

在本部分中,只讨论color对称的双线性型.

定理 3.3.5[13]设(A,[·,·]A,α,ε)为域K上的Hom-李color代数,如果A具备一个非退化的不变超对称双线性型f,则称(A,f,α)为二次Hom-李color代数.类似的可以定义二次G阶化向量空间.2个二次Hom-李color代数(A,f,α)和(A′,f′,β)是等距同构的,如果存在Hom-李color代数同态φ:A→A′使得

引理 3.3.6[16]设ad为Hom-李color代数(A,[·,·]A,α)的伴随表示,定义偶线性映射π:A→End(A*)定义为

(3)

称表示π为A的余伴随表示.

引理 3.3.7[16]在以上概念下,设(A,[·,·]A,α)为Hom-李color代数,且ω:A×A→A*为偶的双线性映射.假设这样的余伴随表示存在,在G-阶化空间A⨁A*上定义如下的括积和线性映射：

(4)

(5)

显然,A*为(A⨁A*,[·,·]α′,α′)的交换Hom-理想且A同构于商Hom-李color代数(A⨁A*)/A*.此外,对于A⨁A*上的color对称双线性型qA,对任意的x+f,y+g∈A⨁A*,满足

则有以下引理.

引理 3.3.8[13]设A,A*,ω和qA如上所述,则三元组(A⨁A*,qA,α′)为二次Hom-李color代数当且仅当ω是以上情形中的超上圈:

引理 3.3.9 设(A,[·,·]A,α)为域K上的Hom-李color代数,

定理3.3.10的证明表示齐次双线性映射ω依赖于Hom-理想I在L中的迷向子空间B0的选取.由此可见其实很多不同的T*-扩张在描述“同一种”二次Hom-李超代数.

定理 3.3.11[13]设A是特征不为2的域K上的一个Hom-李color代数,ω1,ω2:A×A→A*为2个超循环的2-上循环并满足|ωi|=0,则有:

(6)

如果存在以上情况,那么z的超对称部分zs定义为

那么zs引导了一个A上的超对称不变双线性型.

3.3.3 单参数形式形变A.Makhlouf等[9]给出了Hom-结合代数和Hom-李代数的单参数形式形变.文献[25]介绍了Hom-Yamaguti代数的单参数形式形变.文献[14]介绍了Hom-李三系的单参数形式形变.在这部分,只给出Hom-李color代数的单参数形式形变[15].

定义 3.3.12[14]设(A,[·,·],α,ε)是域K上的Hom-李color代数.(A,[·,·],α,ε)的单参数形式形变是指形式幂级数dt:A[[t]]×A[[t]]→A[[t]],其中

这里di是K-双线性映射di:A×A→A(扩展成K[[t]]-双线性映射),d0(x,y)=[x,y],并使得以下等式成立

其中φi:A→A是K-线性映射(扩展成K[[t]]-线性映射)且φ0=idA,满足:

当d1=d2=…=0时,dt=d0称为零形变.若dt～d0,则称单参数形式形变dt是平凡的.

(a) d1是2阶Hom-上圈;

3.4 分裂的正则Hom-李color代数2008年,A.Calderón[53]研究了任意维数和任意基域上具有对称根系的分裂的李代数的结构.2015年,M.Aragón[54]将Calderón的理论方法推广到Hom型代数上,研究了分裂的正则Hom-李代数的结构,特别地,证明了分裂的正则Hom-李代数是单的充要条件.更多关于分裂的Hom型代数结构的结果见文献[32,55-56].这部分主要介绍分裂的正则Hom-李color代数[56],给出了分裂的正则Hom-李color代数及其根连通的定义.利用根连通的性质,得到了最大长度的带有对称根系的单分裂的正则Hom-李color代数的充分必要条件和分裂的正则Hom-李color代数分解成若干单理想的直和的必要条件.以下考虑A是正则的Hom-李color代数,并且A是任意维数和任意基域.N表示自然数,Z表示整数.

定义 3.4.2 设A是正则的Hom-李color代数,H是A的极大交换子代数.对于一个线性映射α∈(H0)*,定义A的关于H的根空间,Aα:={vα∈A:[h,vα]=α(h)φ(vα),∀h∈H}.元素α∈H*满足Aα≠0称为A关于H的根,并且记Λ:={α∈H*{o}:Aα≠0}.

定义 3.4.3 若

则称A是关于H的分裂的正则Hom-李color代数,称Λ是A的根系.

引理 3.4.4 设A是正则的Hom-李color代数,若H是A的极大交换子代数,则H=Ao.

定义 3.4.5 分裂的正则Hom-李color代数的根系Λ称为对称的,如果满足α∈Λ,有-α∈Λ.

定义 3.4.6 设α和β是2个非零根,如果存在α1,…,αk∈Λ满足:若k=1,则

1)α1∈{aφ-n:n∈N}∩{±βφ-m:m∈N}.

若k≥2,则

2)α1∈{aφ-n:n∈N}.

3)

4) α1φ-k+1+α2φ-k+1+α3φ-k+2+…+αiφ-k+i-1+…+αkφ-1∈{±βφ-m:m∈N}.

称α与β是连通的,同样称{α1,…,αk}是一个从α到β的连通.

定义

则HΛα是

和

的直和.

定义

命题 3.4.7 ∀α∈Λ,则线性子空间AΛα是A的子代数.

定义 3.4.8 设A是非交换的Hom-李color代数,若它的理想只有{0}和A,则称A是单的.

定理 3.4.9 以下结论成立:

1) ∀α∈Λ,则与Λα相关的A的子代数

是A的理想;

2) 如果A是单的,那么存在从α到β的连通,∀α,β∈Λ.

定理 3.4.10 若U为向量空间spanK{[Aα,A-α]:α∈Λ}在H中的补空间,则有

这里I[α]是按定理3.4.9条件1)描述的A的理想,此外,若[α]≠[β],则[I[α],I[β]]=0.

定义 3.4.11Hom-李color代数A的中心是Z(A)={x∈A:[x,A]=0}.

定理 3.4.12 若[A,A]=A,并且Z(A)=0,则A是定理3.4.9中给出的理想的直和,即

接下来考虑推论3.4.12中的直和成分是单的充分条件.

下面介绍分裂的正则Hom-李color代数的根可积和最大长度的定义,∀g∈G,定义Λg:={α∈Λ:Aα,g≠0}.

定义 3.4.14 称分裂的正则Hom-李color代数A是根可积的,如果任意α∈Λgi和β∈Λgj,其中gi,gj∈G,满足α+β∈Λ,那么[Aα,gi,Aβ,gj]≠0.

定义 3.4.15 称分裂的正则Hom-李color代数A是最大长度的,如果对于任意α∈Λg,g∈G,有dimAkα,kg=1,其中k∈{±1}.

定理 3.4.16 设A是分裂的正则Hom-李color代数,并且A是最大长度的,根可积的,以及Z(A)=0,则A是单的充要条件是A的所有根是连通的.

定理 3.4.17 设A是分裂的正则Hom-李color代数,A是最大长度的和根可积的,如果[A,A]=A,Z(A)=0,那么A是它的理想的直和,并且每个理想是所有非零根是连通的单的分裂的正则Hom-李color代数.

4 Hom-Hopf代数

最后一部分关注Hopf代数的Hom-型.Hom-余代数、Hom-双代数和Hom-Hopf代数由A.Makhlouf和S.Silvestrov在文献[33-34]中首次引入,随后Yau做了进一步的研究,见文献[12,57](下面称为M-S型).Caenepeel和Goyvaerts从范畴角度考虑了Hom-型代数,称其为monoidal Hom-型(下面称C-G型),见文献[58].自此许多学者关注Hopf代数的这2类Hom-型[43,61-68].

下面只简介一下Radford双积以及Yetter-Drinfeld范畴的M-S型(见文献[61]),其C-G型可以在文献[62]中找到.

定义 4.1.1 设(H,b)是Hom-双代数,(A,▷,α)是(H,β)-模Hom-代数.则(AH,α⊗β)(AH=A⊗H作为线性空间)带有乘法

其中,a,a′∈A,h,h′∈H,和单位元1A⊗1H构成一个Hom-代数,称其为smash积Hom-代数.

注 4.1.2 (a) 这里smash积Hom-代数的乘法不同于文献[66]中给出的.

(b) 在文献[64]中可以找到上面的smash积Hom-代数和Makhlouf-Panaite的smash积Hom-代数的统一型.

对偶于上面smash积Hom-代数,有

定义 4.1.3 设(H,β)是Hom-双代数,(C,ρ,α)是(H,β)-余模Hom-余代数.则(C◇H,α⊗β)(C◇H=C⊗H作为线性空间)带有余乘

其中c∈C,h∈H,和余单位εC⊗εH构成一个Hom-余代数,称其为smash余积Hom-余代数.

定理 4.1.4 设(H,β)是Hom-双代数,(A,α)是(H,β)-模Hom-代数,其模结构为▷:H⊗A→A,同时又是(H,β)-余模Hom-余代数,其余模结构为ρ:A→H⊗A,则下述等价:

下述条件成立(∀a,b∈A,h∈H):

(R1) (A,ρ,α)是(H,β)-余模Hom-代数;

(R2) (A,▷,α)是(H,β)-模Hom-余代数;

(R3)εA是Hom-代数同态且△A(1A)=1A⊗1A;

(R4) △A(ab)=a1(β2(a2-1)▷α-1(b1))⊗α-1(a20)b2;

(R5)h1β(a-1)⊗(β3(h2)▷a0)=(β2(h1)▷a)-1h2⊗(β2(h1)▷a)0.

由上面的Radford双积Hom-双代数的条件,引入下面定义.

定义 4.1.5 设(H,β)是Hom-双代数,(M,▷M,αM)是(H,β)-模,模作用为▷M:H⊗M→M,h⊗m→h▷Mm,(M,ρM,αM)是(H,β)-余模,余模作用为ρM:M→H⊗M,m→m-1⊗m0,则称(M,▷M,ρM,αM)为(H,β)上的Hom-Yetter-Drinfeld模,如果下面条件成立:

其中h∈H,m∈M.

注 4.1.6 (a) 相容条件(HYD)不同于文献[65]中的(2.1)以及文献[62]中的(4.1).

(b) 当(H,β,SH)是Hom-Hopf代数时,和通常的Hopf代数情况相似,(HYD)有下面等价条件

(c) (HYD)和(R5)2个条件形式相同.

接下来给出Radford双积Hom-Hopf代数和Hom-Yetter-Drinfeld范畴之间的关系.

注 4.1.10C-G型Hom-Hopf代数结构(余结构用α-1替换了α)不像M-S型那样严格对称,从而同一Hopf代数问题的2类Hom-型的性质也会有一定的差异,这一点可以从文献[61-62]中Radford双积的2类Hom-型以及2类Hom-Yetter-Drinfeld范畴的对称性研究可以看出.

4.2 积分积分(integral)是Hopf代数理论的另一重要概念，它可以刻画Hopf代数的半单性(即Maschke定理).而有限维Hopf代数的积分一定存在并且唯一.

文献[59]给出了积分的C-G型,并得到了与通常Hopf代数下不同的结果.下面列出相关结论.

定义 4.2.1 设(H,α)是有限维monoidalHom-Hopf代数.一个(H,α)中的左积分是一个α-不变元t∈H(即α(t)=t)并且满足

定理 4.2.2 有限维monoidalHom-Hopf代数的积分不一定存在，但是如果存在那一定唯一.

最后要指出,基于不同的需要,Hopf代数有着多种形式的推广,比如基于研究同伦量子场论的需要,Turaev引入的Hopf群余代数、基于研究算子代数和量子场论的需要,Böhm和Szlachnyi引入的弱Hopf代数以及Drinfeld利用扭曲思想引入的拟Hopf代数等.把这些推广形式与Hom-型结构合在一起就可以得到更广的代数结构[27,43,68].

5 问题

下面给出几个未解决的问题：

1) 李理论中还有很多内容在Hom-李型代数中未被研究,例如分类问题、Engel定理、Lie定理等.

2)Hom-李型代数在量子力学、孤子理论的应用有待研究.

3) 文献[69]利用李三系给出了Yang-Baxter方程的一个解,那么可以考虑Hom-李三系是否能给出了Hom-Yang-Baxter方程的一个解?

4)Hom-Yetter-Drinfeld范畴中Hom-Hopf模基本定理.

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2010 MSC：17B05; 17B55; 17B56; 17B75

(编辑 周 俊)

Some Advances on Hom-Lie Type Algebras

CHEN Liangyun

(SchoolofMathematicsandStatistics,NortheastNormalUniversity,Changchun130024,Jilin)

In recent years,there are some advances in the study on the Hom-Lie type algebras.In this paper,we present the following aspects of these advances: Hom-Lie algebras,Hom-Lie superalgebras,Hom-Lie color algebras,Hom-Hopf algebras.At last,we propose some problems.

Hom-Lie algebras; Hom-Lie superalgebras; Hom-Lie color algebras; Hom-Hopf algebras

2016-12-01

国家自然科学基金(11471090和11171055)

陈良云(1972—),男,教授,主要从事李代数的研究,E-mail:chenly640@nenu.edu.cn

O152.5

A

1001-8395(2017)02-0248-14

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.02.018