胡春梅

(丽江师范高等专科学校 数计系,云南 丽江 674100)

Banach空间有界线性算子加权群逆的存在条件与扰动分析

胡春梅

(丽江师范高等专科学校 数计系,云南 丽江 674100)

算子; 加权群逆; 充要条件; 扰动

1 预备知识和引理

由于目前关于加权群逆所取得的结果主要是建立在有限维矩阵空间中,本文将在无限维的Banach空间中研究算子加权群逆.

下面给出本文采用的记号与术语.设X和Y为任意可分的Banach空间,L(X,Y)是从X到Y的有界线性算子的全体,特别地,L(X)=L(X,X).对任意算子A∈L(X,Y),记R(A)、N(A)和‖A‖分别为A的值域、零空间和范数,若存在B∈L(Y,X),使得ABA=A,则B称为A的1-逆,A称为正则算子,通常记B=A(1).

定义 1.1[1]设A∈L(X,Y),W∈L(Y,X),称满足下列方程组的算子X∈L(X,Y)

AWXWA=A,XWAWX=X,AWX=XWA,

引理 2.1[1]设A∈L(X,Y),U∈L(Y),V∈L(X),则有:

(i) AA(1)L(X,Y)=AL(X),L(X,Y)A(1)A=L(Y)A;

(ii) AL(Y,X)=AA(1)L(Y),L(Y,X)A=L(X)A(1)A;

(iii) 若L(Y)U=L(Y),VL(X)=L(X),则L(Y,X)U=L(Y,X),VL(Y,X)=L(Y,X).

U=AWAA(1)+IY-AA(1),

(1)

引理 2.2 令A∈L(X,Y),则下列条件等价:

(i) UL(Y)=L(Y);

(ii) AWAL(Y,X)=AL(Y,X);

(iii) VL(X)=L(X).

证明 (i)⟹(ii) 由引理2.1及UL(Y)=L(Y),则有

AWAL(Y,X)=AA(1)AWAA(1)L(Y)=

(ii)⟹(i) 由于AWAL(Y,X)=AL(Y,X),且A(1)∈L(Y,X),因此存在X∈L(Y,X)使得

AWAX=AA(1).

(2)

记M=AXAA(1)+IY-AA(1),则有

AWAXAA(1)+IY-AA(1)=IY.

所以(i)成立.

(ii)⟹(iii) 记N=A(1)AXA+IX-A(1)A,X满足方程(2),则有

A(1)AWAXA+IX-A(1)A=IX.

所以(iii)成立.

(iii)⟹(ii) 由引理2.1的(iii)可得VL(Y,X)=L(Y,X),则有

AWAL(Y,X)=AA(1)AWAL(Y,X)=

AVL(Y,X)=AL(Y,X).

对偶地可得以下引理.

引理 2.3 令A∈L(X,Y),则下列条件等价:

(i) L(Y)U=L(Y);

(ii) L(Y,X)AWA=L(Y,X)A;

(iii) L(X)V=L(X).

定理 2.1 令A∈L(X,Y),则下列条件等价:

(ii)U可逆;

(iii)V可逆;

(iv) 算子方程AWAX=AA(1)和YAWA=A(1)A有解,而且

(3)

(4)

(5)

其中,X和Y分别是方程AWAX=AA(1)和YAWA=A(1)A的解.

证明 显然U和V可逆当且仅当UL(Y)=L(Y),L(Y)U=L(Y)和VL(X)=L(X),L(X)V=L(X)分别成立;算子方程AWAX=AA(1)和YAWA=A(1)A有解当且仅当AWAL(Y,X)=AL(Y,X)和L(Y,X)AWA=L(Y,X)A成立.由引理2.2和引理2.3,(ii)、(iii)和(iv)是等价的,且

AYAA(1)+IY-AA(1),

A(1)AYA+IX-A(1)A,

其中,X和Y分别是算子方程AWAX=AA(1)和YAWA=A(1)A的解.

因此,只需证明(i)和(ii)等价.

所以,AWAL(Y,X)=AL(Y,X),L(Y,X)AWA=L(Y,X)A.由引理2.2和引理2.3,U可逆.

(ii)⟹(i) 若U可逆,由UA=AWA,则有

A=U-1AWA.

必存在X使得AWAX=AA(1)且

U-1A=U-1AA(1)A=U-1AWAXA=AXA,

则有

AWU-2AWA=AWU-1A=AWAXA=A,

U-2AWAWU-2A=U-2AWAWU-1AXA=

U-2AWAWAXAXA=U-2AWAA(1)AXA=U-2A.

U-2AWA=U-1A=AXA=AWAXAXA=

AWU-1AXA=AWU-2A,

令

S=AWAWAA(1)+IY-AA(1),

T=A(1)AWAWA+IX-A(1)A.

(6)

对照引理2.2和引理2.3,有以下引理.

引理 2.4 令A∈L(X,Y),则下列条件等价:

(i)SL(Y)=L(Y);

(ii)AWAWAL(Y,X)=AL(Y,X);

(iii)TL(X)=L(X).

引理 2.5 令A∈L(X,Y),则下列条件等价:

(i) L(Y)S=L(Y);

(ii) L(Y,X)AWAWA=L(Y,X)A;

(iii) L(X)T=L(X),

则对照定理2.1,可直接得到以下定理.

定理 2.2 令A∈L(X,Y),则下列条件等价:

(ii)S可逆;

(iii)T可逆;

(iv) 算子方程AWAWAX=AA(1)和YAWAWA=A(1)A有解,且

AYAA(1)+IY-AA(1),

A(1)AYA+IX-A(1)A,

其中,X和Y分解是算子方程AWAX=AA(1)和YAWA=A(1)A的解.

引理 3.1[7]令A∈L(X,Y),W∈L(Y,X),则下列条件等价:

(ii) (AW)#和(WA)#存在,且R(AW)=R(A),N(WA)=N(A);

(iii)R(WA)⊕N(A)=X,N(AW)⊕R(A)=Y.

引理 3.2[9]令A∈L(X),L和M是X的闭子空间,且有X=L⊕M,PL,M为沿M到L的投影算子,则有:

(i)PL,MA=A⟺R(A)⊂L;

(ii)APL,M=A⟺N(A)⊃M.

引理 3.3[9]令B∈L(X).若‖B‖<1,则算子I±B均可逆,且

则有

则有

再由引理3.2,则有

即

同理

则有

(ii) 由(i)有

且

(iii) 由(i)和(ii)有

从而

4 算例

例 4.1 令

由计算可得

则有:

U=AWAA(1)+I3-AA(1)=

V=A(1)AWA+I4-A(1)A=

S=AWAWA(1)+I3-AA(1)=

T=A(1)AWAWA+I4-A(1)A=

而且

例 4.2 令

显然

B=A+E=

且R(A)=R(B),N(A)=N(B).

利用行初等变换将

转化为

和右边矩阵交换最后的零行,则有

利用行初等变换有

再由计算得

同理

即得定理3.1.

[1] 岑建苗.关于长方矩阵的加权群逆的存在性[J].计算数学,2007,29(1):39-48.

[2] CLINE R E,GREVILLE T N E.A Drazin inverse for rectangular matrices[J].Linear Algebra Appl,1980,29:53-62.

[3] 陈永林.长方矩阵的加权群逆的存在条件与表示[J].南京师范大学学报(自然科学版),2008,31(3):1-5.

[4] SHENG X P,CHEN G L.The computation and perturbation analysis for weighted group inverse of rectangular matrices[J].J Appl Math Comput,2009,31(1):33-34.

[5] LIU X J,HU C M.Expressions and iterative methods for the weighted group inverse of linear operators on Banach space[J].J Comput Anal Appl,2012,14(4):724-732.

[6] WEI Y M,LI X Z,BU F B.A Perturbation bound for the Drazin inverse of a matrix by separation of simple invariant subspaces[J].SIAM J Matrix Anal Appl,2005,27(1):72-81.

[7] 王国荣.Banach 空间中线性算子的带W-权Drazin逆的逼近方法[J].高等学校计算数学学报,1988,10(1):74-81.

[9] WANG G R,WEI Y M,QIAO S Z.Generalized Inverses:Theory and Computations[M].Beijing:Science Press,2004:15-26.

[10] 宋传宁.关于长方矩阵的加W权Moore-Penrose 逆的存在性[J].上海师范大学学报(自然科学版),2009,37(4):357-361.

[11] BEN-ISRAEL A,GREVILLE T N E.Generalized Inverses:Theory and Applications[M].New York:John Wiley,1974:290-305.

[12] WEI Y M,WU H B.The representation and approximation for Drazin inverse[J].J Appl Math Comput,2000,126(1/2):417-432.

[13] WANG G R,WEI Y M,QIAO S Z.Generalized Inverses:Theory and Computations[M].Beijing:Science Press,2004:58-59.

[14] 武玲玲,刘晓冀.长方矩阵加权群逆的扰动及其计算[J].四川师范大学学报(自然科学版),2011,34(4):479-483.

[15] 付石琴,刘晓冀.广义逆算子乘积的不变性[J].四川师范大学学报(自然科学版),2016,39(3):185-190.

[16] 王宏兴,刘晓冀.整环上矩阵的加权广义逆[J].四川师范大学学报(自然科学版),2009,32(6):734-737.

2010 MSC：15A09; 65F10

(编辑 李德华)

Existence Conditions and Perturbation Analysis for the Weighted Group Inverse of Linear Operators on Banach Space

HU Chunmei

(DepartmentofMathmaticsandComputerScience,LijiangTeachersCollege,Lijiang674100,Yunnan)

operator; weighted group inverse; necessary and sufficient conditions; perturbation

2016-03-29

云南省科技厅青年计划项目(2013FD060)

胡春梅(1984—),女,讲师,主要从事广义逆理论及应用的研究,E-mail:chunmeihu2008@163.com

O151

A

1001-8395(2017)02-0199-06

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.02.010