金 瑾

(毕节学院 数学系,贵州 毕节 551700)

高阶非线性代数微分方程组的亚纯允许解

金 瑾

(毕节学院 数学系,贵州 毕节 551700)

利用亚纯函数的Nevanlinna值分布理论,研究了高阶非线性代数微分方程组的亚纯允许解的存在性问题,获得了微分方程组的亚纯解或同为允许的,或同为非允许的,进而得到了更一般的结果.

代数微分方程组; 亚纯函数; 允许解; Nevanlinna理论; 值分布理论

1 引言及主要结果

假设读者熟悉亚纯函数的Nevanlinna值分布理论的基本知识和通常记号[1-16].关于微分方程组的允许解问题,有很多作者做了大量的工作,得到了一大批很好的结果,如文献[1-12].

对下面的高阶非线性代数微分方程组

(1)

其中

(i1)和(i2)是有限指标集,函数{a(i1)(z)}、{b(i2)(z)}、{ai(z)}、{bj(z)}、{ci(z)}、{dj(z)}都是亚纯函数,且都是w1、w2的小函数,即:

a11、a12、a21、a22为常数,则可知λtj≤utj≤Δtj.

定义 1 设(w1,w2)是微分方程组(1)的亚纯解,S(r)为微分方程组(1)的所有系数的特征函数之和,即

若(w1,w2)满足S1(r)=o(T(r,w1)),S2(r)=o(T(r,w2))(r∉I1),则称(w1,w2)为(1)的亚纯允许解，其中I1是一个对数测度为有穷的例外值集.

定义 2 设(w1,w2)是微分方程组(1)的亚纯解,若(w1,w2)中的分量w1、w2满足:

则分别称分量w1、w2为微分方程组(1)允许分量，其中I2是一个对数测度为有穷的例外值集.

本文利用Nevanlinna值分布理论,对高阶非线性代数微分方程组(1)的亚纯允许解的存在性问题进行了研究.根据以上定义以及众多研究者研究的基础上,得到以下改进和推广的结论.

定理 1 设(w1,w2)是非线性微分方程组(1)的有限级亚纯允许解,且

则

定理 2 设(w1,w2)是微分方程组(1)的有限级亚纯解,且

或

则(w1,w2)中的2个分量w1和w2或同为允许的或同为非允许的.

2 引理及证明

引理 1[11]设

是关于w(z)的不可约的有理函数,系数{ai(z)}、{bj(z)}是亚纯函数.如果w(z)是亚纯函数,则有

引理 2[12]设T:[0,+∞)→[0,+∞)是非减连续函数,δ∈(0,1],s∈(0,+∞).若T是有限级,即

则

引理 3 设atk(i=1,2;k=1,2)为非零常数，

则

证明 因为

所以由文献[13]的引理2得

(2)

1) 若z0为Ω1(z,w1,w2)的系数的极点,则

2) 若z0为wk的极点,则

由此可得

3) 若z0为wk-a1k的零点,但不是wk的极点,则

由1)～3)得到

由(2)和(3)式以及引理2可得

故

同理可得

即

引理 4 设w1、w2都是亚纯函数,且

则

其中I1和I2都是对数测度为有限的例外值集.

证明 由已知有

其中I1和I2都是对数测度为有限的例外值集,所以引理4成立.

3 定理及证明

定理1的证明 由引理1可得到:

由已知和引理3有

(6)

(7)

故由(4)～(7)式以及微分方程组(1)可得到:

(8)

(9)

因此由(8)～(9)式可得:

(10)

(11)

由(10)和(11)式即可得

定理2的证明 由已知和引理1、引理3以及微分方程组(1)可得:

(12)

(13)

若分量w1为允许的,w2为非允许的,则(8)式变为

由引理4可知,当r→∞时,除去一个对数测度为有限的例外值集外都有

这与定理2的已知矛盾.

若分量w2为允许的,w1为非允许的,则(9)式变为

由引理4也可知,当r→∞时,除去一个对数测度为有限的例外值集外都有

这与定理2的已知矛盾.

因此,(w1,w2)中的2个分量w1和w2或同为允许的或同为非允许的.

[2] 高凌云.复微分方程组m分量-可允许解[J].数学年刊,1997,18(2):149-154.

[3] 高凌云.关于两类复微分方程组的允许解[J].数学学报,2000,43(1):149-156.

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2010 MSC：30D35; 39A10; 39A12

(编辑 周 俊)

Meromorphic Admissible Solution of Systems of High Order Nonlinear Algebraic Differential Equations

JIN Jin

(DepartmentofMathematics,BijieCollege,Bijie551700,Guizhou)

In this paper,by using Nevanlinna theory of the value distribution of meromorphic functions,the existence of meromorphic admissible solutions of complex high order nonlinear algebraic differential equation is investigated.It is proved that the meromorphic solution of the differential equations system are all admissible or non admissible,and some more general results are obtained.

algebraic differential equations systems; meromorphic function; admissible solution; Nevanlinna theory; value distribution

2014-12-30

贵州省科学技术基金(2010GZ43286和2012GZ10526)和贵州省毕节市科研基金([2011]02)

金 瑾(1962—),男,教授,主要从事复分析的研究,E-mail:jinjin62530@163.com

O174.52

A

1001-8395(2017)02-0189-04

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.02.008