林远华,王五生

(河池学院 数学与统计学院,广西 宜州 546300)

一类非线性Volterra-Fredholm型四重无穷积分不等式

林远华,王五生*

(河池学院 数学与统计学院,广西 宜州 546300)

研究了一类积分上限为无穷大,下限变化的非线性Volterra-Fredholm型四重积分不等式.首先假定不等式中的已知函数应该满足的条件,然后利用分析技巧:比如变量替换、不等式放大、积分微分、反函数等,给出Volterra-Fredholm不等式中未知函数的估计.最后,为了说明所得结果的有效性,举例说明所得结果可以用来估计一类四重积分方程解的模.

Volterra-Fredholm型积分不等式; 无穷积分; 变下限积分; 未知函数的估计

因为T.H.Gronwall[1]型积分不等式对研究微分方程和积分方程解的定性性质有重要作用,有些数学工作者致力于Gronwall型积分不等式的各种推广形式的研究,参见文献[2-12].1992年,D.Bainov等为了研究微分方程边值问题,在文献[2]中研究了Volterra-Fredholm型积分不等式

(1)

2004年,B.G.Pachpatte[4]研究了较复杂的Volterra-Fredholm型线性积分不等式

(2)

2008年,Ma Q.等[6]进一步研究了Volterra-Fredholm型非线性时滞积分不等式

2012年,Zheng B.等[8]又研究了Volterra-Fredholm型离散不等式

(4)

受文献[5-8]的启发,研究了Volterra-Fredholm型变下限四重积分不等式

(5)

此不等式与文献[6]中的不等式(3)比较,被积函数含有2个不同的非线性函数φ和φ.与文献[8]中的不等式(4)比较,不等式(5)把差分不等式(4)推广成积分不等式.

1 主要结论

本文中R表示全体实数的集合,R+:=[0,∞),X,Y∈R+,Ω=[X,∞)×[Y,∞).为了叙述方便,利用不等式(5)中的已知函数定义2个函数:

(6)

(7)

其中

(8)

(9)

定理 1.1 假设函数u∈C(Ω,R+),函数a∈C(Ω,R+)关于每个变量都是不增的,且有a(x,y)>0,4个函数fi∈C(Ω2,R+)(i=1,2,3,4)关于后2个变量都是不增的,且f1、f2至少有一个函数不恒等于零,f3、f4也至少有一个函数不恒等于零,f3、f4还满足μ2≤∞.假设φ,φ∈C(R+,R+)都是严格增函数,且有对任意r>0，φ(r)>0,φ(r)>0,Ψ是严格增函数.假设α∈C1([X,∞),[X,∞))(β∈C1([Y,∞),[Y,∞)))是不减函数,且满足α(x)≥x,α(X)=X,α(∞)=∞(β(y)≥y,β(Y)=Y,β(∞)=∞).如果函数u∈C(Ω,R+)满足不等式(5),则

证明 由于函数a和f3的单调性,由不等式(5)可以推出

(11)

令函数z1(x,y)表示不等式(11)的右端,即

(12)

显然z1(x,y)关于每个变量都是不增的,且有:

(13)

(14)

和

(15)

其中

(16)

令函数z2(x,y)表示不等式(15)的右端,则有

(17)

(18)

求z2(x,y)关于x的导数,利用(17)式,z2(x,y)的不增性和φ、φ、α、β的性质,得到

不等式(19)两边同除于φ(φ-1(z2(x,y)))得到

(20)

从x到∞积分上式两边得

(21)

即

(22)

综合(16)～(18)和(22)式推出

(23)

上式整理得

(24)

即

(25)

因为Ψ是严格增的,由上式得

(26)

综合(13)、(17)、(22)和(26)式,得到所要的估计式(33).

注 令φ(z)=z2,φ(z)=z2,z>μ1,则Φ(z)=lnz-lnc,Ψ(z)=ln ((z-μ1)/μ2)-lnz=ln (1/μ2-μ1/(μ2z)).显然(1/μ2-μ1/(μ2z))>0是严格增函数,进而Ψ(z)是严格增函数,故Ψ(z)存在逆函数.由此可以看出,当φ(z)和φ(z)满足一定的条件时,Ψ(z)是严格增函数,故Ψ(z)存在逆函数.

2 应用

为了说明所得结果的有效性,下面将利用定理1.1中不等式的结果研究一类非线性Volterra-Fredholm型积分方程解的估计.

(27)

其中Fi∈C(Ω2×R,R)(i=1,2,3,4)满足条件:

(28)

(29)

(30)

(31)

其中,p>1,fi∈C(Ω2,R+)(i=1,2,3,4)关于后2个变量都是不增的,|b(x,y)|关于每个变量都是不增的,f1、f2至少有一个函数不恒等于零,f3、f4至少有一个函数不恒等于零.如果函数u(x,y)是积分方程(27)的解.利用条件(28)～(31),由积分方程(27)推出不等式

(32)

令φ(u)=up,φ(u)=up/2.可以看出不等式(32)具有不等式(5)的形式,不等式(32)中的函数满足定理2.1中对应函数的条件.利用定理2.1就可以得到积分方程(27)解的估计.

(33)

其中

[1] GRONWALL T H.Note on the derivatives with respect to a parameter of the solutions of a system of differential equations[J].Ann Math,1919,20:292-296.

[2] BAINOV D,SIMEONOV P.Integral Inequalities and Applications[M].Dordrecht:Kluwer Acad Publishers,1992.

[3] PACHPATTE B G.A note on certain integral inequality[J].Tamkang J Math,2002,33:353-358.

[4] PACHPATTE B G.Explicit bound on a retarded integral inequality[J].Math Inequal Appl,2004,7:7-11.

[5] AGARWAL R,DENG S,ZHANG W.Generalization of a retarded Gronwall-like inequality and its applications[J].Appl Math Comput,2005,165:599-612.

[6] MA Q,PECARIC J.Estimates on solutions of some new nonlinear retarded Volterra-Fredholm type integral inequalities[J].Nonlinear Anal,2008,69:393-407.

[7] ZHENG B.Qualitative and quantitative analysis for solutions to a class of Volterra-Fredholm type difference equation[J].Adv Difference Equ,2011,2011:30.

[8] ZHENG B,FU B.Some Volterra-Fredholm type nonlinear discrete inequalities involving four iterated infinite sums[J].Adv Difference Equ,2012,2012:228.

[9] 吴宇,邓圣福.一类弱奇性Volterra积分不等式的推广[J].四川大学学报(自然科学版),2004,41(3):472-479.

[10] 吴宇.关于一类弱奇性Volterra积分不等式的注记[J].四川师范大学学报(自然科学版),2008,31(5):534-537.

[11] 周俊.关于一个积分不等式组的讨论[J].四川大学学报(自然科学版),2009,46(1):21-25.

[12] 王五生,李自尊.一类新的非线性时滞积分不等式及其应用[J].四川师范大学学报(自然科学版),2012,35(2):180-183.

[13] 侯宗毅,王五生.非线性三变量差分不等式及其应用[J].四川师范大学学报(自然科学版),2015,38(4):514-517.

2010 MSC：26D15; 26D20; 45G10

(编辑 周 俊)

A Class of Nonlinear Volterra-Fredholm Type Integral Inequality Involving Four Iterated Infinite Integral

LIN Yuanhua,WANG Wusheng

(SchoolofMathematicsandStatistics,HechiUniversity,Yizhou546300,Guangxi)

A class of nonlinear Volterra-Fredholm type four iterated integral inequalities with variable lower limit and infinite upper limit is studied.Firstly,the conditions satisfied by known functions in the inequalities are supposed,then estimation for the unknown function in Volterra-Fredholm type integral inequalities is given by analytic techniques,such as change of variable,amplification of inequality,differentiation and integration,inverse function etc.Finally,in order to illustrate the validity of the established results,an application is presented,in which explicit bounds for the solutions of a class of Volterra-Fredholm type four iterated integral equations are deduced.

Volterra-Fredholm type integral inequalities; infinity integral; integral with variable lower limit; estimation of unknown function

2015-11-13

国家自然科学基金(11561019和11161018)、广西自然科学基金(2016GXNSFAA380090和2012GXNSFAA053009)和广西高等学

O175.5

A

1001-8395(2017)02-0184-05

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.02.007

校科研项目(KY2015ZD103和LX2014330)

*通信作者简介：王五生(1960—),男,教授,主要从事微分方程与动力系统的研究,E-mail:wang4896@126.com