常 红， 丁丹平

(1.陕西广播电视大学 工程与建筑学院， 陕西 西安 710119； 2.江苏大学 理学院， 江苏 镇江 212013)



Camassa-Holm方程的一种三层守恒有限差分格式

常 红1， 丁丹平2

(1.陕西广播电视大学 工程与建筑学院， 陕西 西安 710119； 2.江苏大学 理学院， 江苏 镇江 212013)

对Camassa-Holm方程的初边值问题建立了一种三层的守恒有限差分格式，验证了该差分方程解的能量守恒性，对差分解进行了模估计.并用离散能量方法证明了该差分方程的解在L∞范数下是无条件收敛且稳定的，最后说明三层差分格式比两层差分格式更容易求解.

Camassa-Holm方程； 有限差分格式； 收敛性； 稳定性

0 引言

最近几年来,人们对Camassa-Holm方程解的问题已经做了大量的研究工作.Camassa-Holm方程含有重力影响下在自由表面水波无向运动的不可压缩Euler方程的小振幅展开中的高阶项，如果去掉这些项就可以导出正则长波(RLW)方程和Korteweg-de Vries(KDV)方程.有很多学者用有限差分方法对RLW方程和KDV方程以及它们的派生方程做了大量的工作[1-9].但很少有人用有限差分方法来研究其数值解.在此背景下，本文就Camassa-Holm方程的初边值问题建立了一种三层守恒的有限差分格式，并用离散能量方法证明了该差分方程的解在L∞范数下是无条件收敛且稳定的.

本文研究如下的初边值问题：

ut-utxx+3uux=2uxuxx+uuxxx

(1)

u(0,x)=u0(x),(x≥0)

(2)

u(t,0)=u(t,L)=0,(t≥0)

(3)

它满足如下的能量守恒律：

(4)

1 记号和引理

对平面有界区域Ω={(x,t)|0≤x≤L,0≤t≤T}做网格剖分[10]，设τ=T/N(≥0)为时间步长，h=L/J(≥0)为空间步长，得到网域：

(xj,tn),xj=jh(0≤j≤J),tn=nτ(0≤n≤N).

C表示一般常数(即在不同的地方表示不同的值).

引入下面的记号:

引入如下内积与范数：

(un,vn)=‖un‖2

引理2 (离散Gronwall不等式[12]) 假设

2 差分格式的建立和守恒律

建立如下差分格式：

(5)

(6)

(7)

证明：

(6)式即由(4)式得证.

引理4 差分格式(5)满足如下的离散守恒律[13]：

(8)

故有

3 差分格式的收敛性与稳定性的检验

定理1 对差分格式(5)的解有如下估计[14]：

(9)

此外，由引理1可得‖un‖∞≤c.

证明：对差分格式(5)在点(xj,tn)处进行泰勒展开得

整理得到线性部分在点(xj,tn)处满足

非线性部分在点(xj,tn)处满足

定理3 差分格式(5)的解依L∞范数[15]收敛到初边值问题(1)～(3)的解，收敛阶为O(τ2+h2).

(10)

式(10)～式(5)得

(11)

令

(12)

(13)

(14)

由定理1和柯西-施瓦泽不等式可得上式

(15)

由引理3，定理1和柯西-施瓦茨不等式可得上式

(16)

故由(14)、(15)、(16)式即可得到如下估计式：

(17)

再由(14)、(17)式可将(13)式做如下估计：

Cτ‖Rn‖2

(18)

则有

(19)

故(19)式可表示为：

φn-φn-1≤Cτ(φn+φn-1)+Cτ‖Rn‖2

将上式从0到n-1求和得

此外

e0=0

故有

又由引理2可得

φn≤O(τ2+h2)2

于是有

故由定理2得

‖en‖∞≤O(τ2+h2)

证毕.

定理4 差分格式(5)的解依L∞范数稳定.

类似定理3的证明，同时考虑上初边值条件，可得

‖en‖2≤C‖U0-u0‖2

由此稳定性即证.

4 结论

本文建立了一个求解Camassa-Holm方程初边值问题的三层守恒的有限差分格式，证明了该差分方程的解在L∞范数下是无条件收敛且稳定的.

本文建立的三层守恒的有限差分格式可以写成一个三对角线性方程组，如果给定初值，在求解时只需要解一个三对角方程组，和两层的差分格式[16]相比较求解更容易，可以避免解复杂的非线性方程组.

[1]HuanWang,ShuguangLi,JueWang.AconservativeweightedfinitedifferenceschemeforthegeneralizedRosenau-RLWequation[J].Computational&AppliedMathematics,2015,71(4):1-16.

[2]JunZhou,MaoboZheng,RenXiuJiang.TheconservativeschemeofthegeneralizedRosenau-KdVequation[J].JournalofThermalScience,2016,20(3):903-910.

[3] 郭 瑞,王周峰,王振华.Kdv浅水波方程的Crank-Nicolson差分格式[J].河南科技大学学报(自然科学版),2012,33(2):71-74.

[4] 胡劲松,徐友才,胡 兵.耗散对称正则长波方程的平均隐式差分格式[J].高等学校计算数学学报,2012,34(4):300-307.

[5] 陈利娅,胡劲松.Rosenau-KdV方程的一个非线性守恒加权差分逼近[J].西北师范大学学报(自然科学版),2016,52(5):18-23.

[6] 陈 涛,卓 茹,胡劲松.广义Rosenau-Kawahara方程的一个非线性守恒差分逼近[J].四川大学学报(自然科学版),2016,53(2):265-269.

[7] 王婷婷,胡劲松.Rosenau-KdV方程的一个线性守恒加权差分逼近[J].重庆师范大学学报(自然科学版),2016,33(4):94-99.

[8]TaoNie.Adecoupledandconservativedifferenceschemewithfourth-orderaccuracyforthesymmetricregularizedlongwaveequations[J].AppliedMathematicsandComputation,2013,219(17):9 461-9 468.

[9]MaoboZheng,JunZhou,AnjanBiswas.Anaveragelinearschemeforthegeneralizedrosenau-KdVequation[J].JournalofAppliedMathematics,2014,2014(2):1-9.

[10] 孙志忠.偏微分方程数值解法[M].北京：科学出版社，2012.

[11]RCamassa,DDHolm.Anintegrableshallowwaterequationwithpeakedsolitons[J].PhysRevLett,1993,71(11):1 161-1 164.

[12]AConstantin.ThecauchyproblemfortheperiodicCamassa-Holmequation[J].DifferentialEquations,1997,141(2):218-235.

[13]AllenFlavell,MichaelMachen,RobertEisenberg,etal.Aconservativefinitedifferenceschemeforpoisson-nernst-planckequations[J].JournalofComputationalElectronics,2014,201(1):35-43.

[14] 崔 进,吴宏伟.一类波动方程初边值问题的高阶差分格式[J].应用数学,2014,27(1):166-174.

[15] 刘建康,李晓旺.具边界反馈波动方程的有限差分格式[J].山西大学学报(自然科学版),2016,39(1):1-11.

[16] 常 红.Camassa-Holm方程的守恒有限差分格式[J].高等学校计算数学学报,2012,34(1):78-86.

【责任编辑：陈 佳】

A three-level conservative finite difference scheme for Camassa-Holm equation

CHANG Hong1， DING Dan-ping2

(1.College of Engineering and Architecture, Shaanxi Radio & TV University, Xi′an 710119, China; 2.School of Science, Jiangsu University, ZhenJiang 212013, China)

A three-level conservative finite difference scheme is estabilished for Camassa-Holm equation with dirichlet boundary value condition in this paper,the energy conservation of the solution of the difference equation is proved,the solution of the scheme is estimated.It is proved that the difference scheme is unconditionally stable and convergent in theL∞norm.Finally,it is shown that the three-level difference scheme is easier to solve than the two-level difference scheme.

Camassa-Holm equation; difference scheme; stability; convergence

2017-03-05

国家自然科学基金项目(11371175)； 陕西广播电视大学校级科研课题(15D-07-B02)

常 红(1985-)，女，陕西宝鸡人，讲师，硕士，研究方向：非线性发展方程

2096-398X(2017)03-0186-05

O241.82

A