浙江省诸暨市浬浦中学(311824) 蔡 明●



巧用“sin2x+cos2x=1”解题

浙江省诸暨市浬浦中学(311824)
蔡 明●

“sin2x+cos2x=1”是三角函数中的一个重要同角关系式，在解决一些三角函数有关问题及非三角函数问题时，能充分挖掘、考虑与公式“sin2x+cos2x=1”间的内在联系，巧用此公式解题，往往可以起到事半功倍的效果.下面几例抛砖引玉.

例1 已知tanα=2，求sinαcosα+cos2α的值.

本题为典型的齐次式问题，结合二次式联想sin2x+cos2x=1，可避免求解sinα,cosα的值.

解 根据AB⊥BC可知，AC为直径，由点A,B,C在圆x2+y2=1上运动，可设A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),C(-cosα,-sinα),

本题利用x2+y2=1上的点结合sin2x+cos2x=1将向量问题转化为坐标，进而转化为三角函数的最值问题.

例3 已知实数x,y满足x2+y2≤1,则|2x+y-4|+|6-x-3y|的最大值是____.

解 根据题意设x=rcosα,y=rsinα，其中0≤r≤1.

|2x+y-4|+|6-x-3y|=|2rcosα+rsinα-4|+|6-rcosα-3rsinα|

=4-2rcosα-rsinα+6-rcosα-3rsinα

=10-3rcosα-4rsinα=10-5rsin(α+φ).

当且仅当r=1,sin(α+φ)=-1时，|2x+y-4|+|6-x-3y|有最大值为15.

本题借助sin2x+cos2x=1，巧妙地避开线性规划与分类讨论思想求解，有着柳暗花明又一村的感觉.

利用sin2x+cos2x=1有效地去掉根式，转化为三角函数的最值问题.

例5 已知a,b为实数，满足a2-2ab+4b2=4，求ab的最小值.

根据条件的二次联想圆的模型，可考虑运用三角换元，转化为三角函数的最值问题.

本题结合sin2x+cos2x=1将二元最值问题转化为一元最值，实现降元思想，将所求问题进行优化.

根据等差数列性质，则a3=2a2-a1=2cosx-sinx.

本题利用sin2x+cos2x=1将数列问题有效地转化为三角问题，借助三角这个工具实现所求.

总体来看，利用sin2x+cos2x=1求解的本质实为三角函数的思想，将所求问题演变为三角函数问题，巧用sin2x+cos2x=1可轻松、快速求解问题，实现复杂问题简单化，也使问题迎刃而解.

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1008-0333(2017)10-0011-01