贵州省瓮安第五中学(550400) 陈友华●



一类恒成立问题的解题策略探究

贵州省瓮安第五中学(550400)
陈友华●

高中数学中在某些恒成立条件下求参数取值范围的问题，可考虑用分离参数的方法转化为含参数的不等式求解.

恒成立；参数；取值范围

恒成立问题是中学数学教学及考试中常见的类型，是学生学习的难点，也是历年高考重点考查和数学竞赛中的热点内容.它要求学生具有较强的读题理解能力，要求学生全面掌握函数与方程、等价转换等数学思想.涉及恒成立问题的题型语言精炼，解决方法灵活多变，不易把握.但对一类在一定条件下恒成立需求其参数取值范围的问题，若能将参数分离出来，转化为其它数学问题求解，就会化繁为简，化难为易.由于“分离参数法”因其思路明确，容易理解，易于掌握，成为解决某些恒成立条件求参数的最佳方法，下面仅就这类恒成立问题进行剖析.

一、方程恒有解问题

“分离参数法”的基本思路是源于函数与方程思想，利用函数与方程的特殊关系进行化归、转换.在含有参数的方程中，将参数视为主变量的函数，若能通过恒等变形，使方程的一边含有参数的代数式，另一边是只含有主变量的函数，此时，函数关系就明朗化了.只要能够求出主变量函数的值域,则参数的取值范围就可以转化为不等式问题求解确定了.

例1 关于x的方程16x+(5 +t)·4x+ 4 = 0恒有解，求实数t的取值范围.

例2 设0≤x≤π，关于x的方程cos2x+4bsinx+b-2=0恒有两个不同的解，求b的取值范围.

分析 原方程可化为：-2sin2x+4bsinx+b-1=0

令t=4sinx+1,∵0≤x≤π，∴1≤t≤5.

二、不等式恒成立问题

在恒成立条件下不等式中参数的取值范围问题，因涉及的知识多、范围广、综合性强，对学生能力要求较髙.如何从题设条件中筛选出有用信息，借用已有知识结构，展开联想，寻找方法,实现突破有一定难度.但如果能将参数分离出来，建立起明确的关系式，找到化归的方向，问题就迎刃而解了.

例3 若{an}是递增数列，且对于任意自然数n，an=n2+λn恒成立，求实数λ的取值范围.

解 ∵{an}是递增数列，

∴对任意的自然数n，均有an+1-an>0恒成立,

即2n+1+λ>0.分离参数，得：

λ>-(2n+1)恒成立.

而-(2n+1)的最大值是-3,从而得：λ>-3.

例4 当a为何值时，对区间[0，3]上的任意实数x，不等式log(2a2-1)(2x+2)<-1恒成立?

解 对于x∈[0，3]，2x+2>0，下分两种情况讨论：

(2)当2a2-1>1，即a2>1时，原不等式可化为：

分离参数，上不等式组等价于下列不等式组：

三、曲线恒过定点问题

解析几何中含有参数的方程的曲线恒过定点问题，主变元与参数相互交织在一起，学生往往找不到解决问题的突破口，普遍感到困难.但若将参数分离出来，问题便可解决了.

例7 已知5m-2n=1，证明直线mx+ny=2恒过定点.

例8 求证：无论m为何值，曲线x2+y2-8mx-4my+40m-25=0恒过定点.

证明 将参数分离，原方程可化为：x2+y2-25-4m(2x+y+10)=0.

故无论m为何值，曲线恒过定点(3，4)和(5，0).

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