安徽省庐江中学(231500) 王能华●



函数解析式的求法

安徽省庐江中学(231500)
王能华●

函数解析式是用来表示两个变量之间对应关系的数学表达式.它具有简明、全面地概括变量间关系的特点，并且通过它能够求出定义域内任意一个自变量所对应的函数值等优点.限于篇幅，本文仅讨论非应用题型函数解析式的几种求法.

一、待定系数法求解析式

分析 本例中已经明确告诉我们f(x)是一个一次函数，根据一次函数的定义，它一定是形如f(x)=kx+b(k≠0)的函数，所以只要能根据条件求系数k,b即可(解略)

从本例可以看出待定系数法主要应用于条件中已确定需要求解的函数的类型，如一次函数、二次函数、反比例函数等.这时可根据条件设出函数的解析式，再根据条件将相关系数求出即可.

二、根据所给条件构造方程组求解

分析 条件中给了一个等式含有f(x)、g(x)两个函数解析式，设想如果能够再构造一个含有f(x)、g(x)的等式即可解出f(x)、g(x)．(解略)

三、利用换元法求解析式

分析 条件中已经给了f(x2-3)的表达式，而要求f(x)的解析式，只需要把x2-3作为一个整体替换为一个字母t，而等式右边也化成t的表达式即可.(解略)

四、配凑法

配凑法与换元法相比较主要运用于当采用换元法令f[g(x)]中t=g(x)不方便求出x，但等式右边容易配成g(x)的表达式时采用配凑法较简单；求出函数解析式要注意根据原始条件求出函数定义域.

五、赋值法

例6 已知定义在实数集R上的函数f(x)对于任意实数x,y满足：f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)，且f(0)=1，求f(x)的解析式．

分析 由于条件中已经出现了f(x)，而且x,y可以取一切实数，完全可以根据需要给它们任意赋值，如令y=x即可.(解略)

从上面的例子可以看出，赋值法通常用于抽象函数中通过对某个字母进行赋值减少变量后能求出需要的函数解析式时，如例6的条件中已有f(x)，但还多了字母y，这时只要对字母x,y进行适当的赋值就可以求出函数解析式.

六、递推法

例7 设f(x)是定义在N+上的函数，满足f(1)=1，对于任意a,b∈N+，f(a)+f(b)=f(a+b)-ab恒成立，求f(x)解析式．

分析 在本例的条件中给出了a,b∈N+时，f(a)+f(b)=f(a+b)-ab总是成立，如果令a,b中一个为x另一个为1，这样就多出了一个f(x+1)，只要我们反复运用这个等式最终肯定可以得到f(1)的等式进行求解即可.(解略)

分析 在本例的条件中已经给了f(x)与f(x-1)之间的关系式，可以逐次用x-1替代x，并且每相邻f(x)与f(x-1)的比值是可以表示的，这样一直递推下去，总可以得到f(2)与f(1)的关系式，最终利用条件中f(1)的值达到求f(x)解析式的目的.(解略)

从上面两例可以看出递推法用在自变量在自然数集范围内取值时，通过对自变量进行逐次减小直到条件中给出的初始值(如上面两例中的f(1))，再把所得等式两边进行相加或相乘.所以递推法主要运用于定义在自然数集或其子集上的函数解析式的求解.

七、奇、偶函数解析式求法

例9 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2+1，求f(x)解析式．

分析 条件中给出了f(x)是奇函数并且给出了它定义域一部分的解析式，而要求定义域中其他部分的解析式，可以利用奇函数的定义来求解.(解略)

例10 已知f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数，当x>0时，f(x)=x2+2x，求f(x)解析式．

分析 利用类似于奇函数时的过程来求定义域中剩余部分的解析式.(解略)

对于已知函数的奇偶性和其定义域内一部分解析式而要求定义域内另一部分解析式时均可按照上述两例方法求解，应特别注意若奇函数的定义域中含有“0”时，f(0)=0的情况不要丢了.

八、图象关于点对称及关于垂直于x轴的直线对称时函数解析式求法

例11 已知f(x)定义域为R，f(x)的图象关于点(3,10)对称，且当x≥3时，f(x)=x2+1，求f(x)解析式．

分析 已知f(x)的一部分解析式求另一部分解析式就是求这部分图象上任意一点(x,y)的横坐标x与纵坐标y之间的关系式，而整个图象关于点(3,10)对称，所以(x,y)关于(3,10)的对称点(x1,y1)一定在所给解析式对应图象上.根据中心对称的定义可知点(x,y)与(x1,y1)的中点为(3,10)，为此只要用x,y分别表示x1,y1代入原解析式变形即可求得.(解略)

例12 已知f(x)的定义域为R，且f(x)的图象关于直线x=1对称，当x≥1时，f(x)=x2-4x，求f(x)解析式．

分析 根据条件中关于直线x=1对称，可知f(1+x)=f(1-x)也即f(x)=f(2-x)对x∈R时都成立，这时只要将需要求解析式的那部分自变量的范围通过关系式2-x转化到已给的范围内即可求解.(解略)

奇、偶函数解析式求法是图象关于点和直线对称的特殊情况，即当对称点和对称轴分别是(0,0)和x=0的情况.类似过程也可用于两个不同的函数图象关于点或直线对称时解析式的求解(也可用于两个不同的曲线关于点或直线对称时曲线方程的求解).

九、周期函数解析式求法

分析 因为f(x)是周期为4的函数，而且也已经正好给了一个周期内的函数解析式，而要求的是当x∈[2n,2n+4)(n∈Z)时的解析式，在本例中还需注意自然数n可能是奇数也可能是偶数，所以还需要对其进行分类讨论，将要求范围内的部分通过减去周期的整数倍转化到已给范围内就可以运用条件中解析式进行解题.(解略)

利用函数的周期性求解析式时，把自变量不在所给范围内的那部分通过加或减周期的整数倍转化到条件所给的范围内再利用周期函数定义进行求解.

不管用上述哪一种方法求函数解析式，都有一个共同的问题大家需要注意，也就是函数的定义域要以原始条件为依据，不能扩大也不能缩小.在学习这部分内容时只要能够理解每一种方法的适用情况，遇到相关问题时基本就可以快速选择出正确方法了！

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