安徽省灵璧第一中学(234200) 郑 良●



明晰目标抓特性顺势而为促优解
——由两道导数试题引发的思考

安徽省灵璧第一中学(234200)
郑 良●

横看成岭侧成峰，远近高低各不同.通过对含参不等式恒成立、函数零点等典型问题的解答与反思，澄清对相关问题的认识与理解，并给出学习方式方法的思考.

函数最值法；分离参数法；图象法；设而不求；数学素养

学生解题时往往囿于模式而不能根据特性跳出模式，导致过程冗长，事倍功半.本文对两道导数试题进行分析求解，以期帮助学生提高审题的敏感性，思维的深刻性，方法适切性、过程的合理性.

(Ⅰ)若函数f(x)在区间(-1,+∞)内是增函数，求k的取值范围；

(Ⅱ)当x>0时，不等式f(x)

分析 判断函数单调性的常见方法为定义法、导数法、复合函数法、图象法等，学生更喜欢选择“功能强大”的导数法.对于含有参数的不等式(或方程)问题，确定参数取值范围的基本方法是函数最值法、分离参数法、图象法等，学生往往优选分离参数法.

又当k=-1时，f(x)是常数函数，所以k>-1.即k的取值范围为(-1,+∞).

解法2 当x>0时，f(x)0)，则m′(x)=k-1-ln(x+1)，令m′(x)=0，得x=ek-1-1.

(ⅰ)当k≤1时，函数m(x)在(0,+∞)上单调递减，当x>0时，都有m(x)≤m(0)=-1<0，符合题意.

(ⅱ)当k>1时，函数m(x)在(0,ek-1-1)上单调递增，在(ek-1-1,+∞)上单调递减.当x>0时，都有m(x)≤m(ek-1-1)=ek-1-k-1，要使f(x)1)，h′(x)=ex-1-1>0，所以h(x)在区间(0,+∞)上单调递增.又h(2)=e-3<0，h(3)=e2-4>0，所以正数k的最大值为2.

(ⅰ)当k≤0时，g′(x)<0，g(x)在(0,+∞)上单调递减，所以g(x)

点评 对于第(Ⅰ)问，解法1用导数法判断函数单调性，判定条件务必准确(函数f(x)在区间D上单调递增⟺f′(x)≥0在区间D上恒成立，且f′(x)不恒为0，减函数类似)，f(x)的分母为一次式，分子中x(最高次)的系数为参数k，故有可能为常数函数.解法2通过等价变形直接利用反比例型函数的结论，事半功倍.当然也可以用函数单调性定义来求解.对于第(Ⅱ)问，解法1分离参数，此法解题的关键是原不等式(或方程)能分离出来参数，且分离后得到的新函数相对简单，为后续研究函数性质奠定基础.在判断n(x)单调性时，遭遇h(x)零点“不可求”，通过“设而不求”遇水搭桥，求n(x)最小值时采用整体代换实现化归与转化，对学生的能力要求较高.解法4为图象法，此法的关键要求两个函数的图象尽可能准确且差异明显，对图象局部模糊的部分进行放大或代数化处理，解题时尽可能规避函数的凹凸性.解答中用到了“设而不求”及下凸函数的性质.解法2与解法3均为函数最值法，通过研究函数的(定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、有界性、凹凸性)性质，画出函数的图象，此处主要用到函数的最值性，不同的是，解法2将问题模式化：化分式为整式，此法可通过规避分式函数分子与分母求导繁杂的运算来优化解题过程，考虑到f(x)的分子与分母均为x的“一次”式，且ln(x+1)的真数恰为f(x)的分母，直接作差(解法3)求导更容易确定导数的零点，进而判断原函数的单调性.通过对函数特性的分析，解法3更贴近学生认知，效果更好.

解法3 由题意知f(0)=f(2)=0，即无论a为何值时，f(x)有两个不同的零点0，2.

解无定法，贵在得法.平时学习时要各种方法一起抓，经历思维从肤浅到深刻的过程，比较解法差异与优劣，力争既见树木又见森林，以便宏观规划、细微入手.

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1008-0333(2017)10-0031-02