共点力条件下的力学平衡常见题型及其解题方法<br/>——评析2016年全国卷三道力学平衡试题

共点力条件下的力学平衡常见题型及其解题方法
——评析2016年全国卷三道力学平衡试题

2017-05-17江西省抚州市第一中学344000刘大明

数理化解题研究 2017年10期

江西省抚州市第一中学(344000) 刘大明●

共点力条件下的力学平衡常见题型及其解题方法
——评析2016年全国卷三道力学平衡试题

江西省抚州市第一中学(344000)
刘大明●

一、2016年全国卷概析

纵观2016年全国3套理综物理试卷，总感受是回归教材、回归基础、回归常规.笔者认为，这种“回归”不是守旧，而是一种朴实的力量，体现了对“双基”(基础知识和基本技能)的高度重视.有些用尖端科学、前沿科学、科学新闻等信息包装的所谓信息题，确实能够考查学生筛选有用信息的能力；但是，在容量巨大且考试时间限定的理综考试中，信息题势必要花费考生大量宝贵时间，致使整个试卷的区分度不足，导致选拔性功能减弱.所以，今年全国3套试卷都没有出现“文字繁多”的所谓信息题.

实际上，“回归常规”试题，除了可以考查双基的掌握情况，而且可以考查筛选、鉴别有用信息的能力.例如，几乎所有物理试题都有所谓的关键字眼，只有甄别它们并正确解读才能顺利解题.

力学平衡试题可谓是常规中的常规，全国3卷中都命制了有关试题，涵盖了力学平衡试题中的3种题型.本文对3道试题进行点评分析作为线索，对力学平衡试题进行了问题界定、题型归总、解法探讨.

二、力学平衡概述

所谓力学平衡，是指物体受到几个力的作用保持静止状态或匀速直线运动状态.从动力学角度而言，即所受几个力的合力为零.力学平衡问题是高中物理试题中最重要的传统题型之一.

在减负的要求下，各学科的知识要求都有所减弱.就力学平衡方面，主要讨论共点力条件下的平衡问题(下文简称共点力平衡)，下文自然探讨共点力平衡.

其中，共点力平衡里有一种称之为动态平衡.所谓动态平衡，首先是“平衡”，即物体处于静止或匀速直线运动状态；其次是“动态”，即某个力或某几个力发生改变.

综合起来，就是在某些力发生改变的平衡问题.共点力动态平衡又是命题专家最热衷的题型，因为它能培养抽象思维能力和“动态平衡”思维能力(与空间智力紧密相关).共点力动态平衡问题，题型种类丰富，解题方法多样，但每一种方法都是高中物理必须掌握的基本方法.师生重视并强化动态平衡问题，不仅仅可以应对力学平衡试题，更重要的是对高中物理学科基本技能(矢量图、正交分解、运用数学知识解决物理问题等)的培养将起到不可忽视的作用.

三、力学平衡试题基本解题方法及其原理

1.基本原理

图1

力是矢量，力的合成与分解遵循平行四边形法则，即遵循数学中的向量加减运算法则.根据向量运算法则，共点力平衡下的所有力构成的矢量图必定首尾依次相连，即表示各力的带箭头的线段，箭头与箭尾依次相连.例如，三个共点力处于平衡状态时，构成了如图1所示的矢量三角形.

另外，向量加减运算还可以使用解析方法，即坐标法.根据向量这一方法不难得出结论：共点力平衡的所有力正交分解到任一方向上，其代数和都为零，即在这一方向上依然处于平衡状态.

2.基本解题方法

(1)图解法

物体受到三个力的作用处于平衡状态，构建图1所示的矢量三角形进行直接观察、分析的方法，称之为图解法.

例1 (全国Ⅱ卷)质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上．用水平向左的力F缓慢拉动绳的中点O，如图2所示．用T表示绳OA段拉力的大小，在O点向左移动的过程中( ).

A．F逐渐变大，T逐渐变大

B．F逐渐变大，T逐渐变小

C．F逐渐变小，T逐渐变大

D．F逐渐变小，T逐渐变小

答案 A

解析对绳中O进行受力分析，OB段拉力等于重力mg.这属于动态平衡问题，F与T的变化情况如图3所示(拉力T图示箭头为了观看方便进行了处理——本应位于矢量三角形顶点上，OB段拉力未标出)，可得：F→F′→F″↑、T→T′→T″'↑.

点评采用图解法，可以直观、形象得出结论，这是图解法的优点.然而，有些力学平衡题型，并不能按照题目要求画出正确的中间矢量三角形，而要借助一些辅助手段.详细解读参阅题型三分析.

(2)解析法

物体受到三个力或三个以上的力的作用处于平衡状态，根据合力为0构建相关代数方程或函数关系进行运算、分析和判断的方法，称之为解析法.

例2 (全国Ⅰ卷)如图4，一光滑的轻滑轮用细绳OO'悬挂于O点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块b.外力F向右上方拉b，整个系统处于静止状态.若F方向不变，大小在一定范围内变化，物块b仍始终保持静止，则( ).

A.绳OO′的张力也在一定范围内变化

B.物块b所受到的支持力也在一定范围内变化

C.连接a和b的绳的张力也在一定范围内变化

D.物块b与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化

答案:BD

图4 图5

解析由题意，在F保持方向不变，大小发生变化的过程中，物体a、b均保持静止，各绳角度保持不变；选a受力分析得，绳的拉力T=mag，所以物体a受到绳的拉力保持不变.由光滑轮性质，滑轮两侧绳的拉力相等，所以b受到绳的拉力大小、方向均保持不变，C选项错误；a、b受到绳的拉力大小方向均不变，所以OO′的张力不变，A选项错误；对b进行受力分析，并将各力沿水平方向和竖直方向分解，如上图5所示.由受力平衡得：Tx+f=Fx，Fy+N+Ty=mbg.T和mbg始终不变，当F大小在一定范围内变化时；支持力在一定范围内变化，B选项正确；摩擦力也在一定范围内发生变化，D选项正确；故答案选BD.

点评分析绳、轮上的作用力时，必须熟悉相关模型及其特点.例如轻绳上各处力的大小都相等，绳上的力可以发生突变，其跨过光滑物两端力的大小依然相等(注意:区别打了“结”的绳，“结”两侧的绳受力不一定相等).在分析物体b所受力的变化情况时，采用了所谓的正交分解法，从正交的两个方向上合力均为零建立方程，从而使问题得以进行代数分析.

(3)综合法

图解法和解析法是解决力学平衡问题的两个基本方法.在多数力学平衡题型里，要综合使用这两种方法，特别是如例2一样的多个物体通过轻绳、轻杆连接在一起的多物体平衡问题，多半要综合采用两种方法.

四、力学平衡题型及其具体解法

1.三力平衡问题

题型一一个力恒定，第二个力方向不变，而第三个力大小和方向都改变的情景，解决此类问题的最佳方法是图解法(或矢量三角形法).

具体解法介绍如例1，在O点向左移动的过程中，试题中“缓慢”关键字说明物体始终处于平衡状态.OB绳上拉力恒定，F方向不变，T方向改变，即属于一个力恒定，第二个力方向不变，而第三个力方向改变的情景.这种情景，运用图解法能够直观形象地看出两个变力的大小变化情况.使用图解法的一般步骤是：(1)确定研究对象，受力分析；(2)画定恒力，平移两个变力，构成首尾相连的封闭矢量三角形，即得初态矢量图；(3)根据条件，逐一画出若干中间过程矢量图，以及末态矢量图；(4)观察两个变力的大小变化情况.

题型二一个力恒定，两个力的方向都改变的情景，解决此类问题的最佳方法是相似三角形法.

例3 如图6所示，固定在水平面上的光滑半球，球心O的正上方固定一个小定滑轮，细绳一端拴一小球，小球置于半球面上的A点，另一端绕过定滑轮.今缓慢拉绳使小球从A点滑到半球顶点，则此过程中，小球对半球的压力FN及细绳的拉力FT大小变化情况( ).

图6 图7

A．FN变大，FT变大 B．FN变小，FT变大

C．FN不变，FT变小 D．FN变大，FT变小

答案:C

具体解法介绍缓慢拉绳使小球从A点滑到半球顶点过程，物体始终处于平衡状态，其中重力恒定，球面的支持力FN和绳子拉力FT的方向都在改变，即属于一个力恒定，两个力的方向都改变的情景.这种情景，仅使用图解法很难获得正确结论，而综合使用解析法.针对本题型，我们称之为“相似三角形法”.运用相似三角形法的一般步骤：(1)确定研究对象，受力分析；(2)适当平移力，构建封闭的矢量三角形；(3)仔细观察，构造(或寻找)与此矢量三角形相似的几何三角形；(4)利用“对应边之比相等”建立方程，解得所求力的数学表达式；(5)根据已知条件，从数学表达式中得出变力的大小变化关系结论.

题型三 (a)一个力恒定，两个力的方向都改变，但这两个力的夹角不变的情景，解决此类问题的最佳方法是辅助圆法.

例4 如图8所示，物体G用两根绳子悬挂，开始时绳OA水平，现将两绳同时顺时针转过90°，且保持两绳之间的夹角α不变(α>900)，物体保持静止状态，在旋转过程中，设绳OA的拉力为F1，绳OB的拉力为F2，则( ).

A.F1先减小后增大

B.F1先增大后减小

C.F2逐渐减小 D.F2最终变为零

图9

解析对质点O进行受力分析，作出初态矢量三角形，如图9实线三角形所示；然后作初态三角形的外接圆.根据题意，改变两个变力的方向，作圆的若干内接矢量三角形，即得中间过程矢量图.从图中，直观形象地看出绳OA的拉力F1先增大后减小，绳OB的拉力F2逐渐减小.

具体解法介绍在动态平衡过程中，重力恒定，绳OA的拉力F1，绳OB的拉力F2的方向都在改变，但夹角不变，即属于一个力恒定，两个力的方向都改变，且夹角不变的情景.就此情景，运用图解法不宜控制两变力的夹角保持不变，从而影响观察，难以得出正确结论；借助辅助圆，可以攻克这一困难.运用辅助圆法的一般步骤是：(1)确定研究对象，受力分析；(2)画出初态矢量三角形；(3)作初态矢量三角形的外接圆；(4)依据题意，以恒力为一边作圆的内接三角形，即得中间过程矢量三角形；(5)观察过程矢量三角形的形态变化，得出结论.

(b)一个力恒定，两个力的方向都改变，但其中一力的大小不变的情景，解决此类问题的最佳方法亦是辅助圆法，但做法与情景(a)不同.

图10

具体解法介绍在动态平衡过程中(如图10所示)，一个力F恒定，另一个力F1方向改变，但要求大小不变，第三个力F2随之改变，这种情景不同于情景(a)，但是依然运用辅助圆法，只不过辅助圆的做法随之改变,具体做法如下.(1)确定研究对象，受力分析；(2)画出初态矢量三角形；(3)以恒力和大小不变的力的交汇顶点为圆心，大小不变力为半径做圆；(4)此圆上的点即是两个变力的交汇顶点，继而做出过程矢量三角形；(5)根据过程矢量三角形的形态变化，得出结论.

2.多力动态平衡问题

题型四物体受到多个力作用处于平衡状态，其中一个力的大小或方向改变时，其他有些力也发生改变的问题，称之为多力动态平衡问题，如例2中的物体b.解决此类问题的最佳方法是所谓的正交分解法.

具体解法介绍 (1)确定研究对象，进行受力分析；(2)建立正交坐标系(高中阶段，一般以物体几何中心为原点)；(3)把各个力正交分解在两个坐标轴上，得到两个沿坐标轴的分力；(4)根据力学平衡基本原理，建立方程式进行求解.另外，运用正交分解法要灵活使用两个原则：原则一，建立正交坐标系时，尽量使更多的力位于坐标轴上，如此才能减少运算量；原则二，满足原则一的情况下，尽量使未知力位于坐标轴上.

3.连接体的平衡问题

题型五关于通过轻绳、轻滑轮连接的两个或多个物体的力学平衡问题，如全国I卷，即例2、全国Ⅲ卷(见下文例5).一般地，多个物体的动态平衡问题，首先，要会灵活运用整体法、隔离法，这正是与单个研究对象的力学平衡问题的不同之处；其次，一旦确立了研究对象，要会灵活运用前文所讨论的方法，此时又回到单个研究对象的平衡问题.

例5 (全国Ⅲ卷)如图11，两个轻环a和b套在位于竖直面内的一段固定圆弧上：一细线穿过两轻环，其两端各系一质量为m的小球.在a和b之间的细线上悬挂一小物块.平衡时，a、b间的距离恰好等于圆弧的半径.不计所有摩擦.小物块的质量为( ).

答案:C

解析直觉告知我们，a、b两环及细绳关于竖直直径对称.设圆心为O，因为a、b间的距离恰好等于圆弧的半径，所以△Oab是等边三角形.选择任一环作为研究对象，轻绳施于的两个张力大小相等，且等于mg，根据三力平衡的矢量三角形原理不难得知，两半径Oa、Ob为对应角的角平分线.设小物块悬挂点为O1(由对称性知，在竖直直径上)，由几何关系不难得知∠aO1b为120°，于是得知小物块质量也为m.

点评因为两环、两球“地位”相当，不难从整体上判断出“对称性”关系；结合对称性，对其中任一一环隔离分析，不难确知∠aO1b为120°，最后再对小物块隔离分析容易选出正确答案.整体法和隔离法在本题中运用可谓出神入化.