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数学思维在解题过程中的培养

2017-05-15林勇兵

教育界·中旬 2017年3期
关键词:灵活数学思维思考

林勇兵

【摘要】心理学家认为:培养学生的数学思維品质是培养和发展数学能力的突破口。几年的教学实践使我认识到思维能力的培养在数学教学中非常重要,一个学生是否具有良好的思维能力,是运用数学知识分析和解决问题的关键。

【关键词】数学思维;思考;灵活

心理学家认为,培养学生的数学思维品质是培养和发展数学能力的突破口。在学生学会知识的过程中也要学会思考,学会思考的重要性不亚于学会知识,它将使学生终身受益。数学是思维的体操,学生思维的发展是我们数学课堂教学的灵魂,教数学一定要教思维。 但是不能空洞地、形式地教思维,而要以数学知识为载体教思维,学数学也一定要学思维,学生学会了“数学方式”的理性思维,将受用无穷。

几年的教学,我发现学生的思维缺乏灵活性,解题方法比较单一,欠缺思维迁移能力,解题过程缺少举一反三的能力,思维比较狭窄,因此在平时的教学中,我也比较注重学生思维的培养。锻炼他们思维的广阔性,下面就我在培养学生数学思维方面的几点感悟作个初步探讨:

一、启迪学生多角度、多途径解题,做到思维起点灵活

在平时的解题过程中,学生对相似的问题往往会用固定的方法去解,这不是一种好现象,会给学生造成解题思维窄,不思考的问题,导致学生分析题目时走不出思维的沼泽区。因此,教师在教学时可从多角度、多方面进行分析,促使学生朝多思维的方向发展,逐步培养学生的思维能力。

我在教学八年级上册时碰到这样一题:

如图,已知AB//CD,猜想∠ABE,∠BED,∠EDC三者间的数量关系。

学生初看此题无从下手,条件只有一个,就是两直线平行,结论是什么?那我们如何启发学生呢?

我们可以引导学生看已知条件,

师:题目已知什么?

生:AB//CD

师:从已知条件——平行,你能联想到什么呢?

生:同位角、内错角相等,同旁内角互补。

师:那这里有这些吗?

生:没有。

师:那我们怎么办呢?可以构造吗?

这样自然而然可以把学生调动起来了,思维也一下子活跃起来了。

一生:我们可以添加平行线。

师:不错。

接下来是启发学生如何添加平行线了。

有生说:

思路一:如图1,过点E作AB的平行线EF,将∠BED看作∠BEF与∠DEF的和,一生上台板演。

师:除了这种方法,还有其他的方法吗?

思路二:如图2,可以过点D作BE的平行线,那么∠EDC可以看作∠EDF与∠DFB的和。生上台板演。

师:还有吗?

生:连接BD。

思路三:如图3,连接BD,学生一看明白了,∠ABD和∠CDE分别被分成了两个角,而且还用到了三角形的内角和定理,生上台板演。

这时学生的思路纷纷打开了。

师再说,还有其他的方法吗?大家也可以讨论一下。

师:可以延长吗?

生:延长CD和BE,生板演。

师:你们认为这些方法哪种方法简单,易懂?

生:都差不多。

小结:其实我们回过头来看这些思路,这道题归根结底就是利用了平行线的性质。

通过这道题的解答,使学生思维起点灵活多了。我们教师在教学过程中有时不应轻易地否定某一种方法,应因势利导,让学生在讨论和对比中自己去认识不同方法的优劣。同时,也体验了解决问题方法的多样。

再如,我们可以将这题变一变。

变式一:将点E移到图乙的位置,但仍保持AB//CD, 那么∠B,∠D,∠BED之间也有这样的关系吗?如没有,那它们有什么关系呢?

像这样一个好问题的一题多解胜过多题一解,既能使学生巩固知识,活用知识,激发兴趣,而且还能培养学生思维能力和创造能力。像中考中的一些考题,大多数是课本练习题的变式或组合,变换问题的条件或结论、转换问题的形式内容,但无论怎么变,问题的本质始终不变。

二、要求学生克服思维定式,及时调整策略,使思维过程严密

对于一道比较熟悉的题目,学生会用已有的解题思路去思考问题,不管题目所涉及的条件是否改变,他都会一如既往的按原先思考的思路去分析,这样的结果往往使学生形成一种思维定式,题目稍有变化,解题就会出现问题。对于这种情况,我们应该引导学生跳出定势,调整解题策略,从不同的角度去分析问题,有助于学生树立正确的解题方法。

例:如果关于x的方程( m-2)x2-2x+1=0有解,那么m的取值范围是( )

A. m<3 B. m≤3

C. m<3且m≠2 D. m≤3且m≠2

一看此题,学生直观感觉就是利用根的判别式去求出m,马上求出选B。

师:还有同学有不同意见的吗?

生:还要求m-2≠0,所以选D。

师:一个比一个考虑周到,都很不错。

师:还有同学有不同意见的吗?

学生有些茫然。

师:根的判别式适合于一元二次方程,请同学们再读题目。

师:有什么新的发现吗?

生:这没说是一元二次方程,有可能是一元一次,要分类讨论。

这一问,学生恍然大悟,这样能使学生及时地调整策略,使解题思路及时得到纠正.

三、要求学生学会总结,朝思维的正迁移灵活地学习

在平时学习中,解决相似问题就是学会在已知的数学关系中找到新的数学关系,促使学生学会掌握解决问题的方法.在解决过程当中,学生可能在思考问题中会有所偏差,这是不利于解决问题的。因此,我们可以采取多样的解决方法,譬如可以发挥迁移学习的优势,在学习小组中,让学生出声思维,集体讨论,不讨论怎样解题,而讨论怎样去思考,并由小组同伴及时点拨,使思维得到很好的训练,努力提高解决问题的能力。

例:解方程组

学生刚接触此题,不知怎么办才好,无头絮,那我们可以提问,

师:对于这题,你哪些是熟悉的,哪些是陌生的?

生:熟悉的——这是方程,有两个方程,含有两个未知数;不熟悉的——含有两个求和数的方程不知如何解?

师:如果转变成一个方程,一个未知数,你会不会解?

生:会。

师:那我们如何去掉一个未知数,转化为一元一次方程呢?

可以让学生分组交流,通过学生分组交流会让学生得到很多解决问题的方法。

如有些学生说把两个方程相加,那我們看看,两个方程相加,可以得到一个方程,但还是有两个未知数,你会吗?接下去有些学生反应,那把两个方程相减,哎,不错,一个方程,同时也少了一个未知数了,行了,哈哈。

我们再回过头来看看这道题的解决方法,其实这就是我们数学中的消元思想,这是利用消元思想来解方程组。

譬如,我们可以将这种方法应用到解三元一次方程组中,这时我们无须花多大的功夫,自然会灵活地运用了。

四、启发学生挖掘隐含条件,抓住问题的实质,灵活地转化并解决问题

在学生解题过程中,一些条件往往被巧妙地隐藏在题设的背后,学生往往发现不了这个隐含条件,给解题带来很大的困难。因此,如何启发学生找隐含条件是关键。首先要求学生学会仔细分析题意,尽可能挖掘题意所涉及的条件。

例:化简

一学生板演:原式=

师:为什么不把绝对值去掉。

生:不知道x的取值范围,无法去掉。

师:题目其实已经告诉你了,你仔细找找。

另一生:有,因为有意义,所以x-3>=0。

这样问题就得以解决了,像这样挖掘隐含条件的过程,往往是寻求解题思路的过程,隐含条件一旦暴露,便为解题提供了新的信息和依据,因而我们可以从挖掘隐含条件入手,寻求解题的突破口,打开解题之门。

例如,当x= 时,分式的值为0。

像拿到这样一题,看到分式的值为0,马上想到分子等于0,从而得到x=5或x=-5。结果快速地出来了,那这个结果正确吗?学生把结果代到分母中试试,发现x=5不行,所以当x=-5时,分式的值为0。

解得结果后把结果代入原题目中,检验解答过程是否适当。

再如,已知关于x的方程x-7=k+1与4k-x=1-2x有相同的解,就k的值。

师:你对这题是如何理解的?你认为这道题解题的关键在哪里?

生:相同的解。

师:那你是怎么理解相同的解呢?

生:就是x的值相同。

师:对了,那x的值怎么样去解呢?

接下去让学生小组交流解决此题。

数学学习中要使学生的思维活跃,就要教会学生分析问题的基本方法,这样才有利于培养学生的正确思维方式。通过一题多解(证)的训练和隐含条件的挖掘,提高发散思维能力等,还得要学生善于思考,必须重视基础知识和基本技能的学习,没有扎实的双基,思维能力是得不到提高的。

以上几点是本人在教学过程中对数学思维能力培养的点滴体会,当然数学思维的培养方式远不止这些,在日常教学过程中,还会出现新的问题,那就要求学生用新的思维方法去解决新的问题。数学思维的培养是一个不断探索,不断学习的过程。

【参考文献】

[1]仲春.数学思维与数学方法论[M].高等教育出版社.

[2]波利亚.怎么解题:数学思维的新方法[M].上海科技教育出版社.

[3]家燕.中学数学思维训练[M].杭州出版社.

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