摘 要：针对电梯运行模式优化问题，文章将电梯上行高峰作为主要考虑点，并将其简化为一个有固定周期的理想化电梯模型，通过对比取优并结合分层运行方式，对现有电梯的运行方式进行了优化。一方面，在控制变量的情况下，分别在人较多和人较少时对等待总时间和耗能进行优化，设立一组理想对比试验，通过建立直观图标并且运用“对称等价原则”，得到了空闲时间电梯的群控运行方式更占优势而高峰期独控运行模式更胜一筹的结果。进一步，文章选取两台独立运行的电梯，通过对电梯运行时间和耗能进行比较得到在随机、奇偶、分层三种运行方式中分层为最优运行方式，并加入之前的结论，得到了在多部电梯时对整体分组分层，各组电梯之间独控，组内电梯群控的优化电梯运行模式。在此基础上，文章对此想法进行进一步改进，即对其分层方式进行优化，发现其符合动态规划模型的要求，故文章运用动态规划，避免多次求解同一子问题，从而能够更快更准确的解决问题。最后得到的分层方法的最优解，并列举同时有二、三、四部电梯的情况的最优解，分别求出三种情况的最短时间，从而减少了耗能。

关键词：电梯运行模式；对称等价原则；分区运行；动态规划

1 问题分析

本文的一个目的是为比较群控独控两种运行模式的人均等待时间和电梯的耗电量，然而现实生活中人们使用电梯的时间却是不定的，所以可以分为人较多和人较少两个时间段分别分析。设定两个理想电梯模型（只有运行模式的差异），通过假设数据和实地调查，列出其相应图标，比较人均等待时间及耗能。

另一个目的是优化电梯的运行模式，也就是为了缩短人均等待时间并减少耗能。首先考虑是什么导致等待时间变长，本文从两个时间段考虑，在人较少时不存在等待时间过长的问题，而在人较多时问题则比较明显，从而主要考虑人多时的情况，由常理可知，高峰期时离开一楼的轿厢就会增多，轿厢的停靠次数就会增多，从而时间就会增长，那么我们可以减少单个电梯的可停靠层数从而减少停靠次数。

最后，根据“最大最小原则”，得到了“最小的”最大时间，因为服务最慢的电梯的运行时间达到最优，可以认为得到了一个乘客平均等待时间较优的策略，而此模型符合动态规划的要求，所以我们使用C++进行编程，求解动态规划方程得到最优结果。

2 问题假设

此处只做出一般假设，在每一个具体问题前还会有专门假设：

（1）在高峰期，电梯一定可以每次都满乘，电梯内每位学生在各层下电梯的概率相等，且相互独立。

（2）电梯每次的停靠时间及每两层之间的运行时间是固定的。

（3）忽略电梯启动与制动时的加速及减速过程，即电梯匀速。

（4）所有电梯的使用时间、已使用时间、材料、自重、载客量、运行速度一致。

（5）每层楼的楼间距一致。

（6）总楼层保持不变。

3 符号说明

表1 符号说明

1.大楼的相关量

N：大楼的层数、m（m1）：层间距数。

2.人数相关量：

U：学生总数、Uj：电梯需向各层运送乘客数、mUj：需运送总人数。

3.电梯相关量：

e：电梯每次停靠的能耗、E：停靠次数、E：电梯的总能耗、t1：电梯运行中经过各层的时间、t2：电梯在每层停留时间、C：最大载客量、Ttr：电梯运行时间

4 模型建立与求解

4.1 独立运行与群控运行电梯的优劣分析

当人数较多即高峰期时，我们采用“对称等价模型”进行更直观的分析，对于独控，设其每次到达的层数为，则有图1。

我们可以将其“对称等价”为图2。

对于群控模式，设其两部电梯分别为c梯，d梯，虽然二者不能在时间上同步进行，但可以令其到达乘客目的层序数同步，运送同等数量的乘客，两类电梯运行周期数目是绝对相等的，然则群控的时间不能同步，致使一梯到达底层而另一梯仍相对静止于某一梯层，从而造成了时间间隔差。造成了乘客的平均候梯时间较独控长，也造成了群控较独控的耗电量大，因此无论从候梯时间还是耗电量来考虑，独控均占优势。

4.2 电梯运行模式的优化

4.2.1 几种常见电梯运行方式的比较

常见的电梯运行模式有随机、奇偶以及分区运行。如果一个电梯控制系统能够满足上行高峰的交通需求，那么就可以适应其他的运行模式，因此，我们来对这三种模式进行分析。并利用“合比”原则，对常见的三种运行模式进行分析。

4.2.1.1 随机运行方案

该方案允许电梯上行时在任意层停靠，两台电梯平均运行周期为2×m×t1+m×t2，两台电梯运送乘客数为2C，Se为随机停靠次数 （此时Se表示两台电梯的停靠次数故Se=2m），依据比例关系有：

当我们得到了最小的最大时间时，因为服务最慢的电梯的运行时间达到最优，可以认为得到了一个乘客平均等待时间较优的策略，而此模型符合动态规划的要求，所以我们使用C++进行编程，求解动态规划方程得到最优结果。

4.3.1 最优子结构及无后效性的证明

设f（i，j，k）表示在前i组，使用j部电梯，最高服务到k层楼时，能够得到的最小的最大运行时间。则可以发现，对于每一次区间的分配，其不同仅仅在于分配的区间点，因为前一次产生的结果中的所有细节都不会对这一次的分配产生影响，所以我们可以简单用反证法证明，当得到一个最优的分配策略之后，每一个子分配策略也必然是最优的，因为若一个子策略能够通过修改得到一个更优的策略，那么总分配策略就不是一个最优策略，得证。所以这个问题具有最优子结构及无后效性的性质，符合使用动态规划的要求。

那么很明显，状态转移方程为：

其中的p为状态转移时的增益函数，表示使用t部电梯，为k-c+1至k层楼服务时所耗费的总时间。

4.3.2 增益函数的计算

4.3.3 動态规划计算过程

在计算动态规划时，使用从底至上的计算方法，根据边界方程计算出f（1，i，j）的值，然后递推求解，减少了记忆递归产生的函数调用的消耗。设定一个状态记录表，使得到最优解之后可以回溯求出每一区间的服务楼层及组内电梯数量。在计算楼层乘客和时，使用前缀和优化计算过程。

4.3.4计算结果

分别计算在高度为30的大楼中，有2，3，4台电梯的最优分组情况，设a=10，b=5，c=16，每一层的乘客数量都为50。

5 模型的分析和推广

本文针对电梯群控系统的优化运行方法，分析了乘客候梯时间和耗电量的指标，集独立运行和群控运行的优点为一体，构建了一种全新的分层模式。运用动态规划，求得最优解。另外，在论文中，我们对其进行了细致的分析，而对区间分层细到一定程度，效果不会更优，但却导致过程更加复杂。除此，如若对非高峰期进行分析，效果会更明显。此间，在高峰期，我们可视其为连续变量，而非高峰期，我们可视其为离散型随机变量。当连续时，以位移和速度等连续量进行对比。当离散时，可以光子的不连续性相关联。二者结合，会有更优的结果。

参考文献

[1]姜启源.数学建模（第三版）[M].高等教育出社，2003.

[2]马潇，吴子贵.电梯规划的动态模型[J].计算机工程与应用，2004，18.

[3]孟佶贤，徐凤，吕新忠.高层电梯系统运行方案的建模与求解[J].运筹与管理，2014，10.

作者简介：李科宇（1996，11-），女，汉族，山西省长治市，本科，广西民族大学理学院。