江苏省苏州第十中学 (215006)

陆 峥

对一道解析几何竞赛题的拓展研究

江苏省苏州第十中学 (215006)

陆 峥

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若k1+k2=0，求实数k的值.

这是2016年浙江省高中数学竞赛试题，笔者研究发现，此题内涵丰富，对于问(2)，从特殊到一般，从之和到之积，从椭圆到双曲线抛物线等诸多方面都可引申拓展，并且所得结论非常优美，现整理如下，供同行参考.

将问题一般化，可得如下命题：

注：上述证明过程中，假设直线方程为x=ty+c,在应用韦达定理过程中将x-c换成ty，使得运算量大大减少.

受解题一般化方法引导，将椭圆上点P再一般化，有

证明与命题1类似，从略.将斜率之和为0变为一般的常数λ，则有

将命题3中的b2换为-b2，则得

命题3、4、5，可统一为如下定理：

考虑到将条件中斜率之和改为之积，通过探究，得

注意到抛物线的离心率为1，于是上面的命题6、7、8有可统一为如下定理：