福建省泉州市第七中学 (362000)

黄永生 杨 丹

两道全国卷压轴题的别解与思考*

福建省泉州市第七中学 (362000)

黄永生 杨 丹

华罗庚先生曾有非常精辟的表述：“数形本是两依倚，焉能分作两边飞；数缺形时少直觉，形少数时难入微”.数形结合思想让“数”的抽象与“形”的直观结合，使问题的解决既直观又入微.本文从数形结合的角度探索两道全国卷的压轴题的解法，希望对读者有所启迪.

例1 (2012年高考全国卷·理20)设函数f(x)=ax+cosx，x∈[0,π].

(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；

(Ⅱ)若f(x)≤1+sinx，求a的取值范围.

解析：(Ⅰ)略.(Ⅱ)若f(x)≤1+sinx，即ax+cosx≤1+sinx，从而ax≤sinx-cosx+1.

(1)当x=0时，a×0≤0，此时a∈R；

图1

(Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线y=f(x)的切线；

(Ⅱ)用min{m,n}表示m,n中的最小值，设函数h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0)，讨论h(x)的零点的个数.

图2

以上两题的解答与高考命题者提供的参考答案比较，显得更加优美且简洁.用数形结合思想不但回避了分类讨论和构造函数带来的麻烦，而且思维更加流畅，更容易接近问题的本质.若要用常规思维方法解决这类问题，有一定的难度，而渗透数形结合的思想方法，则会使学生更加容易接受，更容易找到解题的突破口.

[1]黄永生,杨丹.一道试题的解法思考与改编[J].中学数学研究(江西).2016(10)：28-29.

*本文为福建省教育科学“十三五”规划2016年度课题《基于全国课标Ⅰ卷函数与导数的考察研究》(课题编号：FJJKXB16-314)的研究成果.