浙江省衢州第二中学 (324000)

刘瑞富

以阿波罗尼斯圆为背景的试题探究

浙江省衢州第二中学 (324000)

刘瑞富

在近十年的高考中，以阿波罗尼斯圆为背景的考题不断出现，备受命题者的青睐，本文通过列举近几年的高考及竞赛试题，讲解与阿波罗尼斯圆有关的一些结论，进一步加强对与此圆与关的试题的认识.

问题的起源：

(1)人教A版必修2课本第124页B组第3题.

(2)人教A版必修2课本第144页B组第2题.

已知点M(x,y)与两个定点M1,M2距离比是一个正数m，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形(考虑m=1或m≠1两种情形).

将此问题一般化，我们有：

图1

可以看出：(1)圆心与两定点A,B在同一直线上；(2)是以分线段AB所成的比为λ的内外两个分点为直径的圆.

例1 (2013江苏高考题)如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l:y=2x-4．设圆C的半径为1，圆心在l上．(1)略;(2)若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．

图2

解：(1)设点M(x,y),由MA=2MO，知

点评：本题解决的难点在于探求动点M的轨迹方程，而点M的轨迹就是著名的阿波罗尼斯圆，得出点M的轨迹为圆后，问题即转化为两个圆的位置关系.

图3

命题1 如图3，已知圆O的直径为MN，在直线MN上有两点A,B，若满足

⟺(OA-OM)·(OB+OM)=(OA+OM)·(OM-OB)⟺OA·OB=OM2=r2.

事实上，满足上述条件的点A,B又称为圆O的一对反演点.

例2 (2014湖北高考题)已知圆O:x2+y2=1和点A(-2,0)，若定点B(b,0)(b≠-2)和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有|MB|=λ|MA|，则(1)b=________；(2)λ=_________.

图4

点评：解法1是基本的方法，解法2要求更高，更简洁，做小题更迅速，可以节省时间，此题告诉我们，已知阿波罗尼斯圆的一个定点，可求得另一个定点及圆上任一点到两个定点所成的比.

例3 (2015湖北高考题)如图4，圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方)，且|AB|=2．

(1)圆C的标准方程为___________；

其中正确结论的序号是___________.(写出所有正确结论的序号)

易得正确结论的序号为①②③.

点评：对阿波罗尼斯圆的逆用，先判断得出A,B是它的两个定点，可快速解决本题.

图5

命题2 如图5，MN是圆O的一条直径，A是直线MN上异于O的一个定点，过点A任作一条异于MN的直线交圆O于P,Q两点，点P关于直线MN的对称点为P′，直线P′Q与MN交于点B，则A,B是圆O的一对反演点.

证明：连接QO与圆交于点C，连接P′C,由Q,P,P′,C四点共圆得∠QPP′=∠QCP′，又∠OAQ+∠APP′=∠OQB+∠QCP′=90°,所以∠OAQ=∠OQB,从而ΔOAQ～

图6

|OA|·|OB|=|OQ|2=r2.

特别地,如图6，过A作圆O的两条切线，切点分别为P,Q，连接PQ，与MN相交于点B，则A,B是圆O的一对反演点.

图7

命题3 如图7，P为异于M,N的以A,B为定点的阿波罗尼斯圆上一点，则PM、PN分别为∠APB的内、外角平分线.

图8

例4 (2001中国西部数学奥林匹克题)如图8，过圆O外一点P作其切线PA,PB，OP与圆O和AB分别交于点I,M，DE为过M的任意弦.求证：I为ΔPDE的内心.

证明：由命题2知，M,P为圆O的一对反演点，连接EI,DI，由命题3得，EI,DI分别为∠PED，∠PDE的角平分线，所以I为ΔPDE的内心.

点评：如能巧妙地运用阿氏圆的相关知识来处理，有时就能缩短思维路径，简化解题过程，起到事半功倍的效果!

将圆通过伸缩变换变为椭圆，则可得到如下结论：

图9

图10

n)(m≠0)都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．

(1)求椭圆C的方程;

(2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N．问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．

(2)假设y轴上存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ，则RtΔOQM与RtΔONQ相似,所以|OM|·

点评：将圆的性质通过仿射变换，得到椭圆的类似性质，是命题者常用的一种手段.

有了对阿波罗尼斯圆的系统认识，像以上所举的几个问题，认清问题的本质，我们就能很轻易的解决，在我们学习中要善于对各种题型归类，深入探究.作为教师，我们要善于挖掘问题的本质和背景，站在更高的角度去理解问题，这样更有利于提高教学质量，促进学生创造性思维的发展.

[1]杨炼.阿波罗尼斯圆的新性质及应用[J].中学数学杂志，2016(5).

[2]孙明.例析2015年高考解析几何试题的反演点背景[J].高中数学教与学，2015(10).

[3]徐梅香.由阿波罗尼斯圆衍生的椭圆性质[J].中学数学月刊，2014(6).