毛传林

【摘要】本文通过研究探讨对角线“翻棋”游戏，深入浅出地说明转化，分类，然后确定研究对象的标准形这一深刻的数学思想。

【关键词】翻棋 分类 标准形 等价关系

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）08-0132-01

众所周知，所有的整数能够被分成奇数和偶数两大类， 我们也经常选0作为偶整数这一类的代表， 选1作为奇整数这一类的代表。我们这里，尝试使用一种对角线“翻棋”游戏作为研究对象，向同学们说明转化，分类，确定标准型这一深刻的数学思想。

一、 1×1方格和2×2方格

为了方便描述， 对于n×n方格中的一个格子， 如果其从上往下数位于第i行，从左往右数位于第j列，那么我们就将其编号为（i，j）。 称第1行、第n行、第1列和第n列中的方格组成的圈，为n×n方格的边界。如果（i，j）是边界中的一个方格，那么我们说由（i，j）开始，从左上往右下的对角线为（i，j）-主对角线；由（i，j）开始，从右上往左下的对角线为（i，j）-反对角线。

3×3方格里面9个棋子，每个棋子正反面又分别有黑白两种颜色，这样对应的图形将会产生29（=512）种可能情况，似乎太多了点。我们先来考虑1×1方格和2×2方格兩种较为简单的情况吧。

很容易看到1×1方格只有一个格子，里面棋子如果是正面黑色朝上，那么不用操作，或者说经过0次T操作，就把全部棋子变成黑色朝上了；如果是反面白色朝上，那么只需要经过1次T操作，就可以把全部棋子变成黑色。所以，可以得到结论：

对于1×1方格，不论棋子怎么摆放，我们都可以经过有限次T操作，将棋子全部变为黑色朝上。

命题1：我们规定，如果两个图形，可以经过有限次T操作相互转化，那么这两个图形被说成是同为T类的；否则，被说成不是同为T类的。

问题：2×2方格下棋子的图形，经过有限次T操作，可以分为多少个不同的T类？

在2×2方格的情况下，我们发现全部16种图形之间都可以通过T操作相互转化。 所以2×2方格下棋子的图形，只有一个T类。这样，我们也可以得到下述结论：

对于2×2方格，不论棋子怎么摆放，我们都可以经过有限次T操作，将棋子全部变为黑色朝上。

二、3×3方格

3×3方格中棋子对应的图形的情况有29（=512）种之多，不可能像2×2方格时那样一一罗列出来，该怎么办呢？我们发现，在处理2×2方格时，通过图形间的转化，分类，并确定标准形的是可以使用的。

先来想象一下，对于3×3方格中位于第一列中的棋子，从上往下数，如果第i行中的棋子是白色的，那么我们就对（i，1）-主对角线进行一次T操作；对于位于第一行中的棋子，从左往右数，如果第j列中的棋子是白色的，那么我们就对（1，j）-主对角线进行一次T操作；对于位于第3列中的棋子，从上往下数，如果第i（i>1）行中的是白色的，那么我们就对（i，3）-反对角线进行一次T操作。最后，我们得到的图形，第1行3个格子，第1列3个格子和第3列3个格子里面的棋子一定都是黑面朝上。这样的一个图形我们称之为标准形。综合上面的分析，我们可以得到下述命题：

命题2：令X是一个3×3方格棋子的图形，那么可以经过有限次T操作，将图形X变成一个第1行3个格子，第1列3个格子和第3列3个格子里面的棋子都是黑面朝上的标准形。

下一个自然要解决的问题就是，3×3方格下棋子图形的标准形有多少种？

命题3： 3×3方格下棋子图形的标准型有4种。

证明：对于一个3×3方格下棋子图形的标准形，我们去掉第1行，第1列和第3列的格子和棋子，得到一个2×1方格下棋子的图形。而2×1方格下棋子的图形有4种，通过命题2，3×3方格下棋子图形的标准形有4种。

三、n×n方格

有了解1×1方格、2×2方格和3×3方格“翻棋”问题的经验，我们可以尝试挑战一下n×n方格对角线“翻棋”问题了。

仔细咀嚼一下命题2和命题3的证明过程，我们发现，对于n×n方格，有和命题2和命题3相似的结论。我们陈述如下，证明由读者自己完成。

命题4：令X是一个n×n方格棋子的图形，那么可以经过有限次T操作，将图形X变成一个第1行n个格子，第1列n个格子和第n列n个格子里面的棋子都是黑面朝上的标准形。

命题5：令X是一个n×n方格下棋子的图形，经过有限次T操作将X转化为标准形，那么X只有唯一的一个标准形。

n×n方格下棋子图形的标准形有多少种？

四、结论

整数分为奇数和偶数，二次曲线分为椭圆和双曲线。我们对自然界中存在的各种物体，看到的各种现象都在进行着分类，并选出一类中的某个典型代表作为这一类的标准型。物理、化学和数学领域中的科学研究也往往就是在研究某种研究对象的分类问题，其中基本方法论就是，先考虑如何相互转化，将可以相互转化的视为一类，达到分类的目的，尝试在一类中确定一个有代表性的元素作为这一类的标准型。

通过对角线“翻棋”这一简单而有趣的游戏，在游戏过程中，首先对图形变化有了朴素的感性认识。然后，利用分类的基本方法论，能够使同学们在数学上对怎样分类，如何分类，怎么确定标准型，有个理性认识，从而慢慢理解“等价关系”和“等价类”内涵，最终掌握分类的基本方法论。

参考文献：

[1]张远南.使人聪明的数学智力游戏[M].上海科学普及出版社.1993