杨佳

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）08-0139-02

一、教学内容解析

本节课是苏教版必修二第二章2.2.2的内容，是在学习了直线方程、直线与直线的位置关系、圆的方程等之后，用多种方法来研究直线与圆的位置关系。

初中的学习让学生对直线和圆的位置关系有了初步的认识，学生依据圆心到直线的距离与半径长的关系判断直线与圆的位置关系，但从未从“方程”的角度分析直线和圆的位置关系。

研究直线与圆的位置关系，一是从继续从几何角度直观判断，二是通过直线与圆的方程从“数”的角度进行研究。这体现了数形结合的思想。在此基础上，重点研究相交和相切两种位置关系，解决相关问题。

二、教学目标解析

1.了解直线与圆的三种位置关系的含义及图示。

2.会通过比较圆心到直线的距离d与半径r的大小判断直线与圆的位置关系。

3.从方程角度理解直线与圆的三种位置关系，通过直线与圆的方程所组成的方程组的解的个数来确定对应关系，解决相关问题。

4.通过直线与圆的位置关系的代數化处理，使学生进一步认识到坐标系是联系“数”与“形”的桥梁，从而更深刻地体会数形结合思想。

三、教学重难点

教学重点：从几何和代数的角度理解直线和圆相交和相切的位置关系。

教学难点：理解可以通过直线与圆的方程所组成的方程组的解来确定它们的位置关系。

四、教学过程设计

1.问题情境

问题1.一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径长为50km的圆形区域。已知港口位于台风中心正北70km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？

设计意图：让学生感受台风这个实际问题中所蕴含的直线与圆的位置关系，思考解决问题的方案。

2.揭示课题——直线与圆的位置关系

问题2.前面问题可以转化为直线圆的位置关系问题。请问，直线与圆的位置关系有几种？在平面几何中，我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？

设计意图：从已有的知识经验出发，建立新旧知识之间的联系，构建学生学习的最近发展区，不断加深对问题的理解。

师生活动：引导学生回忆义务教育阶段判断直线与圆的位置关系的思想过程。可以展示下面的表格，使问题直观形象。

直线与圆的位置关系公共点个数与的关系图形：

相交两个 相切一个 相离没有

3.直线与圆位置关系的判断

问题3.在平面直角坐标系中，怎样根据方程来判断直线与圆的位置关系？

设直线l的方程和圆的方程分别为：Ax+By+C=0， x2+y2+Dx+Ey+F=0

联立方程组，通过解得组数可得结论：

相交两组不同解 相切仅有一组解 相离没有解

综合问题2和问题3得出表格：

4.例题示范

例1已知直线：x+y-1=0和圆：x2+y2=4，

（1）判断直线与圆的位置关系；

（2）如果相交，求它们交点的坐标。

设计意图：通过例题巩固判断直线与圆的位置关系方法，关注量与量之间的关系。使学生体验用坐标法研究直线与圆的位置关系的想法与结论。

师生活动：教师引导学生分析解答。

分析：方法一，判断直线与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二，可以依据圆心到直线的距离与半径大小的关系，判断直线与圆的位置关系。

问题4.在判断直线与圆的位置关系的不同方法中，你选择哪一种？

设计意图：两种方法的选择，体验各自的优越性和其中蕴含的思想方法。

师生活动：学生讨论选择。

5.弦长问题

例1 变式：求弦AB的长度。

设计意图：直线与圆的位置关系，当他们相交时，学习弦长的求法。

师生活动：学生思考解决，可能有两种方法：方法一，因为两个交点坐标分别是，所以用两点距离公式；方法二，构造直角三角形，先求弦心距，再求弦长。

例2：已知过点M（-3，-3）的直线l被圆x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为4，求直线l的方程。

6.切线问题

问题5.我们学过点与直线的位置关系有三种，即点在圆上，点在圆外和点在圆内，如果分别过这些点画圆的切线，能画出来吗，如果能，分别有几条？

设计意图：通过学生的具体实践操作，使学生理解在解决圆的切线问题时，点的位置对切线有非常大的影响，养成先判断点的位置，再解决切线问题的解题策略。

例3.已知圆：（x-2）2+（y-3）2=1

（1）若自点A（2，2）作圆的切线，求切线方程。

（2）若自点B（-1，4）作圆的切线，求切线方程。

问题6.你还有其他办法来解决问题吗？

设计意图：分别给出点在圆上，点在圆外和点在圆内的三种情况，在解决问题时，学生大多会联系图像。作为解析几何，代数化是基本思想，联立方程组来解决问题也是非常重要的，甚至在解决问题时还可以把几何法和代数法综合起来，寻找最佳解决问题的办法。

例3 变式：若自点B（1，1）作圆的切线，求切线方程。

设计意图：在求切线时会遇到切线垂直于y轴，即斜率不存在的情况，用代数法求解时表现为方程只有一个解，这种情况容易被学生漏掉，通过变式训练来强调。

7.课堂小结

问题7.判断直线与圆的位置关系有哪些方法？

问题8.当直线与圆相交时，如何求弦长？

问题9.当直线与圆相切时，如何求切线方程？

设计意图：巩固所学知识，培养学生归纳概括能力。

师生活动：学生思考，教师引导时应涉及到“如何求弦长”以及判断直线与圆的位置关系有几种方法？它们的步骤是什么？

五、教学目标检测

1.判断直线与圆的位置关系，如果有交点，求出交点坐标。

2.求圆被直线所截得的弦长。

3.已知直线和圆，当实数取何值时，直线与圆相交？相切？相离？

分析：可以通过圆心到直线的距离与半径的大小关系来求解，也可以通过解方程组是否有解来解答，解题时可以借助图形直观理解。

六、课后作业

课后习题

七、教学反思

反思一：《直线与圆的位置关系》教学以相交和相切为最重要，教材中问题以直线方程和圆方程联立的方程组的解的组数来引入位置关系，这样安排看似体现了解析几何“计算”的特征，但操作性不强，上课开始学生就需要学生求解一个比较复杂的计算，兴趣点容易发散。本案例以学生初中时期对圆的理解的基础上出发，以图形为依托，直观地思考问题，更适合学生和吸引学生，体现了心理学中“最近发展区”的理论观点，符合学生的认知规律，也体现了数形结合的数学思想，在教学中的效果也非常显著。

反思二：教材中例题1与例题2的问题安排显得比较突兀，比较孤立，不利于学生有联系地思考问题。本案例对例题1的改编，以及对例题1的提出的变式问题，则让学生体会到了直线和圆相交和相切的本质区别和联系，让学生辩证地思考问题，有利于发展学生的思维。例3中通过改变切线经过的点的位置，学生在解决问题中需要周全、有区别地思考问题，从而使本课有机地成为一个问题串，让本课研究的问题从简单的问题起步，不断地提高问题深度，提高思维层次，发展学生的分类思想，以及学生的分析问题和解决问题的能力。

反思三：由于本课内容比较多，问题的提出需要学生有充足的时间思考，在教学中一节课时间显得不足，问题的解决有点仓促和不到位，需要改进，可以在课前布置前置性的问题进行思考。