陕西省山阳县城区第三中学(726400) 杜忠书 ●

解直角三角形与实际生活

陕西省山阳县城区第三中学(726400) 杜忠书 ●

锐角三角函数是数形结合的典范，涉及数学各个分支，在工程，测量，军事，工业，农业，航海，航空等领域都有应用，特别是在日常生活中的应用更加广泛，因而，必须引起足够的重视．下面举几例与同学们共赏．

例1 如图1所示是某立式家具(角书橱)的横断面，请你设计一个方案(角书橱高2米，房间高2．6米，所以不从高度方面考虑方案的设计)，按此方案可以使该家具通过如图2中的长廊搬入房间，在图2中把你的设计方案画成草图，并说明按此方案可把家具搬入房间的理由(注:搬动过程中不准拆卸家具，不准损坏墙壁)．

思路解析 如说理图所示，作直线AB，延长DC交AB于E，由题意可知，△ACE是等腰直角三角形，所以CE= 0．5，DE=DC+CE=2．作DH⊥AB于H，则DH=DE·可按此方案设计图将家具从长廊搬入房间．

答案:设计方案草图如图所示．

温馨提示 本题是一道比较贴近生活的实际问题，重点考查学生综合运用所学知识解决实际问题的探究和创新能力．本题反映生活中常见的实际情况，很有创意，并充分体现了学数学用数学的价值．

例2 如图3所示，福润万家超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行，请你根据图中数据计算回答:小高身高1．78米，他乘电梯会有碰头危险吗?姚明身高2．29米，他乘电梯会有碰头危险吗?(可能用到的参考数值:sin27°=0．45，cos27°=0．89，tan27°=0．51)

思路点拨 本题是一道设计比较新颖的实际问题，要判断乘电梯是否会碰头，从图形来看需要计算电梯和天花板之间的最小距离，然后与人的高度比较．

解 如图3，作CD⊥AC交AB于D，则∠CAD=27°，在Rt△ACD中，CD=AC·tan∠CAB=4×0．51=2．05 (米)．所以小高不会有碰头危险，姚明则会有碰头危险．

例3 如图4，已知某小区的两幢10层住宅楼间的距离为AC=30m，由地面向上依次为第1层、第2层、…、第10层，每层高度为3m．假设某一时刻甲楼在乙楼侧面的影长EC=h，太阳光线与水平线的夹角为 α．当 α= 30°时，甲楼楼顶B点的影子落在乙楼的第几层?若α每小时增加15°，从此时起几小时后甲楼的影子刚好不影响乙楼采光?

思路点拨 过点E作EF⊥AB于F，本题可转化为在Rt△BEF中解直角三角形求解，当B点的影子落在C处时，甲楼的影子刚好不影响乙楼采光．

解 过点E作EF⊥AB于F，由题意，四边形ACEF为矩形．∴EF=AC=30，AF=CE=h，∠BEF=α，∴BF=3 ×10－h=30－h．又在Rt△BEF中，即30－h=30tanα，解得h=30－30tanα．

当B点的影子落在C处时，甲楼的影子刚好不影响乙楼采光．此时，由AB=AC=30，知△ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，∴(45－30)/ 15=1(小时)．故经过1小时后，甲楼的影子刚好不影响乙楼采光．

温馨提示 本题是一道与实际生活密切联系的应用题，解决本题的关键要准确找出所要解的直角三角形，如解Rt△BEF;其次要弄清题意，找出已知条件和未知条件关系，正确选择锐角三角函数来求解．

例4 如图5，某乡村小学有A、B两栋教室，B栋教室在A栋教室正南方向36米处，在A栋教室西南方向300米的C处有一辆装载机以每秒8米的速度沿北偏东60°CF，100，的方向 行驶 若装载机的噪声污染半径为 米试问A、B两栋教室是否受到装载机噪声的影响?若有影响，影响的时间有多少秒?(计算过程中取1．7，各步计算结果精确到整数)

思路点拨 要判断A、B两栋教室是否受到装载机噪声的影响，只需分别算出两栋教室到CF的距离，然后与100米进行比较即可．若要计算影响时间，可根据勾股定理算出装载机从开始影响到结束时之间的距离就行．

解 如图6，过点C作直线AB的垂线交AB的延长线于D．

温馨提示 本题将生活中常见的现象以数学问题呈现出来，具有很强的现实性，使同学们感到数学无处不在，充分体现了“关注对应用数学解决实际问题能力的考查”．

方法总结 以上几题都是解直角三角形应用题，解题时要善于将实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素间的关系，即把实际问题抽象成数学模型(构造直角三角形)，然后根据直角三角形的边角关系求解．解题时应注意:(1)认真分析题意，画图找出或构建要解的直角三角形(或特殊的四边形)．(2)选择合适的边角关系，以便简化运算．(3)按照题目要求的精确度确定答案并注明单位．

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