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一道中考题的五种解法

2008-09-08吴俊明王冬苟

中学生数理化·教与学 2008年5期
关键词:实根对称点中考题

吴俊明 王冬苟

例 已知二次函数y=x2+2ax-2b+1和y=-x2+(a-3)x+b2-1的图象都经过x轴上两个不同的点M,N.求a,b的值.

解法1:设M(x1,0),N(x2,0),则x1,x2是方程x2+2ax-2b+1=0的两个根,也是方程-x2+(a-3)x+b2-1=0的两个根.因此有

x1+x2=-2a,x1x2=-2b+1;x1+x2=a-3,x1x2=1-b2.

∴ -2a=a-3,-2b+1=1-b2.

解得a=1,b=2或a=1,b=0.

当a=1,b=0时,不合题意,舍去,因此a=1,b=2.

解法2:依题意,方程x2+2ax-2b+1=0与方程-x2+(a-3)x+b2-1=0有两个相同的实根,因此两个方程中对应项的系数对应成比例,即

解得a=1,b=2或a=1,b=0. 其中a=1,b=0不合题意,舍去.

解法3:因为两抛物线开口的大小相同,方向相反.又经过x轴上两个不同的点,所以这两个抛物线关于x轴对称.它的顶点必关于x轴对称.这样就有

解得a=1,b=2或a=1,b=0. 其中a=1,b=0不合题意,舍去.

解法4:抓住两抛物线的顶点关于x轴对称和两抛物线与y轴的交点关于x轴对称,得

解得a=1,b=2或a=1,b=0. 其中a=1,b=0不合题意,舍去.

解法5:在抛物线y=x2+2ax-2b+1上任取两点,那么这两点关于x轴的对称点必在另一条抛物线y=-x2+(a-3)x+b2-1上.

取x=1,得y=2a-2b+2,得点A(1,2a-2b+2).

取x=1,得y=a+b2-5,得点A′(1,a+b2-5).

取x=-1,得y=-2a-2b+2,得点B(-1,-2a-2b+2).

取x=-1,得y=-a+b2+1,得点B′(-1,-a+b2+1).

解得a=1,b=2或a=1,b=0. 其中a=1,b=0不合题意,舍去.

注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文

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