王廷江

(西南大学荣昌校区基础部 重庆 402460)

分数阶RLα-Cβ并联谐振频率简易表达式*

王廷江

(西南大学荣昌校区基础部 重庆 402460)

将RL-C并联谐振推广到分数阶，求得分数阶RLα-Cβ并联谐振频率的一般表达式，推导出α=β时谐振频率的简易表达式．

分数阶 并联谐振 频率 表达式

分数阶微积分与整数阶微积分几乎同时产生,但因其复杂性、应用背景缺乏等原因而发展缓慢．直到Mandelbort[1]指出在自然界及诸多技术领域中存在大量分维数的事实，分数阶微积分才引起关注，并且目前已在很多领域有很好的应用．

RL-C并联电路是一种重要的单元电路，本身由电感线圈和电容器并联构成，但由于实际线圈总是有电阻，就如同一个电阻与理想电感线圈串联后再与电容器并联．对整数阶RL-C并联谐振曾有文献对其进行过深入讨论[2～3]，本文将其推广到分数阶，对谐振频率进行了推导，得到了频率的简易表达式，将为后续深入研究打下基础．

1 分数阶并联谐振

图1所示为RLα-Cβ并联电路示意图．图中R，Lα，Cβ分别为电阻、分数阶电感和分数阶电容，α和β为分数阶数，其取值为：n-1<α

图1 分数阶RLα-Cβ并联电路

在频率为ω的正弦交流电源作用下，电路的导纳为

(1)

整理得变换为

(2)

将式(2)简写成

Y(jω,α,β)=G+j(BC-BL)=

G+jB=|Y(jω,α,β)|∠φ

(3)

2 RLα-Cβ并联谐振频率简易式

依据式(3)并结合式(2)，当电路发生谐振时，应有

取α=β，上式解得

(4)

式(4)是RLα-Cβ并联电路在α=β时谐振频率的一般式，由电路元件参数和分数阶次共同决定，称固有频率．

在式(4)中，当α=1时(即整数阶)

将上式变换为

则

所以上式可进一步简化为

而

从而可得RLα-Cβ并联电路谐振频率简化表达式

(5)

在式(5)中，当α=1时，也可得到对应整数阶电路谐振频率的简化式．

3 结论

由电路理论推导出分数阶RLα-Cβ并联谐振频率的一般表达式，根据工程实际，得到谐振频率的简易表达式，谐振频率主要由电容、电感元件参数及分数阶数决定，这为深入研究该谐振打下一定的基础．从频率的角度看分数阶更具有普遍意义，整数阶是分数阶的一种特殊情形．

1 Mandelbort B B.The Fractal Geometry of Nature.New York:W.H.Freeman and Company,1983

2 陈水生.关于RL-C并联谐振特性曲线的讨论.大学物理,1998,17(5):18～19

3 陈水生,郑富年.RL-C并联谐振态量与Q的几个关系式.大学物理,1999,18(10):23～25

4 邱关源.电路.北京:高等教育出版社,1999.216～219

5 周守昌.电路原理.北京:高等教育出版社,1999.252～254

Simple Expression on Frequency of Parallel Resonance Circuit of Fractional-orderRLα-Cβ

Wang Tingjiang

(Department of Basic Science Rongchang Campus，Southwest University，Chongqing 402460)

In this paper, the parallel resonant ofRL-Cwill be promoted to the fractional order．The general expression of parallel resonant frequency aboutRLα-Cβis deduced, and simplified the expressions of resonant frequency, withα=βas the condition．

fractional-order；parallel resonance；frequency；expression

*西南大学实验技术研究项目，项目编号：SYJ2016058

王廷江(1969- ),男，硕士，副教授，主要从事电工理论与新技术、非线性电路与系统研究.

2016-09-14)