蒋金团

(施甸一中 云南 保山 678200)

用“独孤四剑”破解几何关系求半径和圆心角

蒋金团

(施甸一中 云南 保山 678200)

介绍了用解三角形的方法处理带电粒子在有界磁场中的圆周运动.

有界匀强磁场 圆周运动 正弦定理 余弦定理 和差角公式

带电粒子在有界磁场中的运动是一类典型的高考题，这类题型的特点是物理部分简单，数学部分较复杂.物理部分只用到3个公式而已

从半径公式可以看出，半径是联系粒子信息和几何条件的桥梁，因此，几何关系求半径是重中之重.笔者在研究高考真题的基础之上，总结出一套比较实用的通性解法，该方法有4个关键点，姑且借用武侠小说称呼，取名“独孤四剑”吧.“独孤四剑”的精髓在于：构造三角形，以公共边为桥梁，实现半径和已知条件的联系，将物理问题彻底转化为数学中的解三角形问题.

“独孤四剑”操作步骤如下：

(1)第一剑，定圆心.两个速度垂线的交点为圆心，一个速度垂线和一条弦的中垂线的交点也为圆心.

(2)第二剑，定三角形.用到的三角形有两类，第一类是含有半径的三角形，第二类是含有已知边长或角度的三角形.

(3)第三剑，转移角度.将设定的角度和已知的角度转到设定的三角形中.转移的依据，一是速度偏转角等于转过的圆心角，二是弦切角定理.

(4)第四剑，以公共边为桥梁解三角形.

情况一:三角形为直角三角形或等腰三角形时，采用三角函数.

情况二:三角形为斜三角形时，可能用到正弦定理、余弦定理、和差角公式.

sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα

sin(α-β)=sinαcosβ-sinβcosα

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

接下来，将选择两个压轴题作为示范，展现“独孤四剑”的实用性，感兴趣的朋友可以上网查阅参考答案，将两种解法进行对比.

【例1】(2013年高考大纲卷)如图1所示，虚线OL与y轴的夹角θ=60°，在此角范围内有垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B.一质量为m，电荷量为q(q>0)的粒子从左侧平行于x轴射入磁场，入射点为M.粒子在磁场中运动的轨道半径为R.粒子离开磁场后的运动轨迹与x轴交于P点(图中未画出)，且OP=R.不计重力.求M点到O点的距离和粒子在磁场中运动的时间.

图1 例1题图

解析: (1)第一剑,定圆心.如图2所示，粒子进入磁场后做匀速圆周运动，设运动轨迹交虚线OL于A点，入射速度的垂线和弦的中垂线的交点即为圆心C.

图2 确定圆心

(2)第二剑,定三角形.题目中已知OP=R，说明必须用一条公弦将OP边和半径联系起来，所以可以解△COA和△OAP.

(3)第三剑,将角度转移到设定的三角形中.设圆心角为α，根据速度偏转角等于圆心角可知∠OPA=α.

(4)第四剑,用公共边作为桥梁解三角形.

在△COA中，由正弦定理得

变形得

(1)

在△OAP，由正弦定理得

变形得

(2)

由式(1)、(2)得

sin 120°=sin(150°-α)

即

sin 120°=sin 150°cosα-sinαcos 150°

化简得

两边平方再化简得

解得α=30°或α=90°.

带电粒子做圆周运动时，由圆周运动规律，有

当α=30°时，有

当α=90°时，有

在△COA中，由正弦定理得

变形得

由几何关系得

当α=30°时，有

当α=90°时，有

图3 例2题图

解析:总体分析,本题涉及两次运动,磁场偏转和电场偏转,两次运动的联系是初速度相同,并且最后求的是电场,所以思路是，先用磁偏转求出初速度,再代入电偏转中.

情况1：带电粒子在磁场中做圆周运动时，由牛顿第二定律得

(3)

(1)第一剑,定圆心.如图4所示，入射速度垂线和出射速度垂线的交点为圆心F.设轨道半径为r, 而边界圆的半径为R(已知的),两者要区分开.

图4 确定圆心

(2)第二剑,定三角形.两圆相交,先把交点处的4个半径和公共弦连起.显然,两个半径三角形不可少,然后Rt△OaE的已知条件多,它也入选.

(3)第三剑,将角度转移到设定的三角形中，Rt△Fab是等腰直角三角形,∠Fab=45°.

(4)第四剑,用公共边作为桥梁解三角形.在△OaE中，设∠OaE=α，则

在△Oab中

∠Oab=90°-α-45°=45°-α

由几何关系得

ab=2Rcos∠Oab=2Rcos(45°-α)

(4)

在△Fab中，由几何关系得

(5)

联立式(4)、(5)得

(6)

(7)

联立式(6)、(7)得

(8)

联立式(3)、(8)得

(9)

情况2：带电粒子在电场中做类平抛运动时，竖直方向

r=vt

(10)

水平方向

(11)

联立式(8)～(11)得

综上所述，使用数学方法处理物理问题具有可靠性、严密性、直观性等特点，因此，在物理中适度推广数学知识是很有必要的.

Cracking the Geometry Relation UsingTokgoFourSwordsto Solve the Radius and Central Angle

Jiang Jintuan

(Shidian NO.1 High School, Baoshan, Yunnan 678200)

in this paper, the solution of the periodic motion of charged particles in a magnetic field is presented.

bounded uniform magnetic field; circular motion; sine theorem; cosine theorem; difference angle formula

2016-10-18)