王朝祥

(北京市第八十中学 北京 100102)

导数在高中物理中的应用*

王朝祥

(北京市第八十中学 北京 100102)

函数对自变量的瞬时变化率，称为导数.在日常教学中将导数思想渗透入物理课堂，能深化对物理概念和规律的理解，把握物理知识的内在联系；在解决实际问题时引入导数，能有效解决物理量的非均匀变化问题、极值问题，有利于提升学生应用数学知识处理物理问题的能力.

导数 瞬时变化率 极值问题

微积分的创立为人们研究变量和函数提供了重要的方法和手段.导数是微积分的核心概念之一，在解决实际问题中有着广泛的应用.

人教版高中数学教材选修2-2讲授了导数的概念，介绍了导数的几何意义、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，这为高中物理学习提供了全新的数学方法.笔者在日常教学中尝试着将导数思想渗透到物理课堂，教学效果良好，现与读者分享.

1 导数的数学定义

函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率，称为函数在该点的导数，记作f′(x0)，即

导数f′(x0)反映函数y=f(x)在x=x0处的增减趋势和变化快慢.在图像中，导数f′(x0)的几何意义为：曲线y=f(x)在x=x0处切线的斜率.

2 结合导数思想深化对物理概念和规律的理解

高中物理中，很多物理量都是通过变化率定义的，如：速度是位移对时间的变化率，加速度是速度对时间的变化率，力是动量对时间的变化率，功率是能量对时间的变化率，电流是电荷量对时间的变化率，感应电动势是磁通量对时间的变化率.

学过导数以后，学生知道导数就是函数对自变量的瞬时变化率.教师不妨引导学生从导数的角度重新认识瞬时速度、瞬时加速度、瞬时功率、瞬时感应电动势等物理量，这样能深化学生对物理概念、物理规律的理解，把握物理知识的内在联系，体会数学方法与物理思想的完美结合.

例如，在高中物理教材中，法拉第电磁感应定律的呈现形式为

在学生掌握导数的概念和运算法则后，可以将定律拓展到磁感应强度B与有效面积S都随时间变化的复杂问题，此时磁通量

Φ=B(t)S(t)

代入法拉第电磁感应定律可得

然后分3种情况讨论：

(1)若磁场恒定，即

感应电动势

这种由于回路面积变化而产生的电动势称动生电动势.

(2)若回路的面积保持不变，即

感应电动势

这种由于磁感应强度变化而产生的电动势称感生电动势.

(3)若B和S都随时间变化，此时既有动生电动势又有感生电动势，感应电动势是二者的叠加.(参见2003年高考江苏卷第18题)

上述拓展在借助数学方法打开学生思路的同时不忘回扣课本知识，有助于学生准确地理解法拉第电磁感应定律的内涵.

3 利用导数思想拓展解决问题的思路

分析和解决实际物理问题的过程离不开数学方法.将导数思想引入物理教学，能有效拓宽学生的思路，并能化解仅用初等数学知识难以解决的问题，提升学生运用数学工具处理物理问题的能力.现结合一些常见问题举例说明.

3.1 利用导数描述和研究物理量的非均匀变化

【例1】如图1所示，A，B两物体通过不可伸长的轻质细绳跨过定滑轮相连，物体A在拉力F作用下沿水平地面匀速向右运动，判断绳子弹力大小的变化情况.

图1 例1题图

分析：将物体A的速度记为vA，当右侧绳子与竖直方向夹角为θ时，根据速度的合成与分解求得，物体B的速度大小vB=vAsinθ.

将vB对时间t求导，得物体B的加速度大小

aB=vB′=vAωcosθ

分析物体B的受力情况，由牛顿第二定律得，绳子弹力T=mB(g+aB).

由题意，物体A向右运动过程中，绳子与竖直方向的夹角θ增大，绳子转动的角速度ω减小，物体B的加速度aB减小， 因此绳子的弹力T逐渐减小.

点评：本题中物体B的速度vB随时间非均匀变化，利用初等数学方法难以计算其加速度，引入导数后，其加速度的计算迎刃而解.

3.2 利用导数研究物理极值问题

【例2】如图2所示，真空中相距为2r的M，N两点处分别放置等量的正点电荷，电荷量大小为Q，求两电荷连线的中垂线上电场强度的极大值.

图2 例2题图

分析：取两电荷连线的中垂线上任意点A，将AM与MN的夹角记为θ，A点的合场强为

将E对θ求导

点评：若函数在某点的一阶导数为零，二阶导数大于零，函数在该点取极小值；若函数在某点的一阶导数为零，二阶导数小于零，函数在该点取极大值.本题中，场强E是以θ为自变量的函数，请读者自行计算E对θ的二阶导数，体会函数的极值条件.

*北京市教育科学“十二五”规划课题“高中创新实验班物理与数学课程整合实践研究”成果之一，项目编号：DBB15072

王朝祥(1977- )，男，中教高级，主要从事中学物理教学及研究.

2016-10-26)