于志明

(连云港师范高等专科学校物理系 江苏 连云港 222006)

均质三角形边框刚体对其质心轴的转动惯量的简明推导

于志明

(连云港师范高等专科学校物理系 江苏 连云港 222006)

利用任意三角形的边长与顶点坐标的关系,直接推出任意三角形边框的质心到各边中点的距离与三角形各边边长的关系,从而方便地求得任意均质三角形边框刚体对其质心轴的转动惯量.

转动惯量 三角形边框 质心

刚体转动惯量的计算是刚体力学研究的重要内容.文献[1,2]研究了任意均质三角形边框刚体对过质心且和三角形所在平面垂直轴的转动惯量的计算问题.文献[1]利用几何方法确定任意均质三角形边框刚体的质心位置和质心到各边中点的距离,然后利用均质细杆对其中心的转动惯量和平行轴定理得到任意均质三角形边框刚体对其质心轴的转动惯量的公式.文献[2]认为文献[1]中推导的过程比较繁琐,又给出了一种新的推导方法.我们仔细阅读文献[2]后发现,其中推导的过程也比较繁琐,还要用到三角形边框的中点形成的内切圆,还要应用从《数学手册》中查出的有关关系式.我们认为在计算任意均质三角形边框刚体对其质心轴的转动惯量时,最重要的是计算其质心到三边中点的距离与其边长的关系,而利用三角形的边长与顶点的坐标的关系,可以方便快捷地解决这一问题.本文推导的方法思路清晰,计算简单,对于处理其他任意多边形边框刚体对其质心的转动惯量具有启发意义.

1 三角形的边长和顶点坐标的关系

如图1所示,设任意三角形(以下记为△ABC)的3个顶点分别为A，B，C,3边的边长分别为a,b,c,3个夹角分别为α,β,γ.建立如图所示的直角坐标系xOy,设三角形的3个顶点A,B,C的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3),则三角形3条边的边长与3个顶点的坐标的关系为

(1)

(2)

(3)

由余弦定理得

a2=b2+c2-2bccosγ

(4)

b2=a2+c2-2accosα

(5)

c2=a2+b2-2abcosβ

(6)

图1 三角形边长和顶点坐标的关系分析图

如果分别从△ABC的3个顶点起，沿两边引两个边矢量，则由矢量的标乘得

(x2-x1)(x3-x1)+

(y2-y1)(y3-y1)=accosα

(7)

(x1-x2)(x3-x2)+

(y1-y2)(y3-y2)=abcosβ

(8)

(x1-x3)(x2-x3)+

(y1-y3)(y2-y3)=bccosγ

(9)

由式(4)～(9)得

(10)

(11)

(12)

式(1)～(3)和式(10)～(12)建立了△ABC边长和顶点的坐标的关系,利用它们我们就能解决△ABC的质心到其3边中点的距离与三角形的边长的关系问题.

2 △ABC的质心到其3边中点的距离与其边长的关系

由图1可知,△ABC的3边AB，BC，CA的中点坐标分别为

(13)

(14)

(15)

而由△ABC的3边组成的质点系的质心坐标可表示为

(16)

(17)

将式(13)～(15)代入式(16)、(17)得

(18)

(19)

△ABC的3边组成的质点系的质心到其3边AB，BC，CA中点距离的平方分别为

(20)

(21)

(22)

将式(13)、(14)、(15)、(18)、(19)分别代入式(20)～(22),再应用式(1)～(3)和式(10)～(12)经化简可得

(23)

(24)

(25)

式(23)～(25)就是我们得到的任意△ABC的质心到其3边中点的距离与其边长的关系式.

3 三角形边框刚体对其质心轴的转动惯量的计算

设△ABC各边单位长度的质量为λ,利用大家熟知的均质细杆对过其中心轴的转动惯量和平行轴定理,可得△ABC的3边组成的质点系对与该三角形平面垂直且过其质心的轴的转动惯量为

(26)

1 周国全,徐富斌.均质边框三角形刚体绕质心轴的转动惯量公式.大学物理,2012,31(12):8～9

2 李力.简捷推导均质三角形边框刚体绕质心轴的转动惯量.大学物理,2013,32(5):19

Simple Derivation on the Rotation Inertia of a Homogeneous Triangular Frame Rigid Body to the Axis through Its Mass Center

Yu Zhiming

(Department of Physics, Lianyungang Teachers College, Lianyungang, Jiangsu 222006)

Using the relationships between the side lengths and the coordinates of the triangle points, the distances from the mass center of the triangle frame to the midpoints of each side can be deduced directly. The rotation inertia of the rigid triangle frame about the axis through its mass center is obtained very briefly.

rotation inertia; triangle frame; mass center

于志明(1960- )，男，教授，主要从事大学物理的教学和研究工作.

2016-10-18)