陈文滔++方兵++梁晓++叶大鹏

摘要：为了精确地描述巨菌草（Pennisetum sinese Roxb）茎秆力学性能茎秆抗拉、抗压、抗弯弹性模量，对巨菌草茎秆力学特性曲线进行曲线拟合。通过分析插值函数的构造方法及性质，合理地选取基函数和权函数，并对最小二乘法以及移动最小二乘法的拟合曲线进行了对比。结果表明，移动最小二乘法在巨菌草茎秆力学特性试验曲线拟合中具有更高的精度。

关键词：巨菌草（Pennisetum sinese Roxb）；茎秆；移动最小二乘法；力学性能；曲线拟合

中图分类号：S519 文献标识码：A 文章编号：0439-8114（2017）03-0561-04

DOI：10.14088/j.cnki.issn0439-8114.2017.03.044

Study of Curve Fitting of Mechanical Properties of the Stalk of

Pennisetum sinese Roxb

CHEN Wen-tao，FANG Bing，LIANG Xiao，YE Da-peng

（College of Mechanical and Electrical Engineering， Fujian Agriculture and Forestry University， Fuzhou 350002， Fujian，China）

Abstract：In order to accurately describe the mechanical properties of the stalk of Pennisetum sinese Roxb on tensile， compression and bending modulus of elasticity， the curve of mechanical properties of Pennisetum sinese Roxb stalk were fitted. The construction method of interpolation function was detailedly studied and the basis function and weight function were reasonably choose， then compared the least square method and moving least square method in curve fitting. The results showed that the precision of the moving least square method in the curve fitting of mechanical properties of Pennisetum sinese Roxb stalk was higher.

Key words：Pennisetum sinese Roxb；stalk；moving least squares；mechanical properties；curve fitting

巨菌草（Pennisetum sinese Roxb）是上世纪90年代从非洲引进中国，经过20多年培养出适合中国气候土壤的优良草种[1]。巨菌草的茎秆木质纤维作为能源与工业原料具有巨大的潜能，同时，巨菌草的机械处理如切割、打捆、破碎、运输等也具有重大的经济价值。

巨菌草茎秆的力学特性参数是研制高效、低耗茎秆切割器的重要参数依据，对巨菌草茎秆的力学特性的研究有利于在农业机械设计阶段中减少研发成本与缩短研发周期，因此有必要展开对巨菌草茎秆的力学特性研究。目前，已有学者研究了芦竹[2]、苎麻[3]、玉米[4]等作物茎秆的力学特性，而巨菌草茎秆的力学特性研究鲜见报道。

由于植物茎秆力学性能呈现非线性特点，需要通过曲线拟合得到材料的拉伸、压缩、弯曲弹性模量力学性能参数。而曲线拟合的方法众多，常用的是基于普通最小二乘法的多项式拟合，其形式简单，计算量小，但考虑整个拟合区域所有节点的误差效应，并将误差在全局上做均化处理，对局部拟合精度产生很大影响[5]。因力学特性曲线的线性阶段曲线形状较为简单，可以采用上述方法，且精度可以满足要求，但对于茎秆破坏阶段的曲线，普通最小二乘法误差较大。鉴于该方法存在的问题，本研究借鉴竹木材料的试验标准，测试了巨菌草茎秆拉伸、压缩、弯曲等力学性能参数。利用移动最小二乘法（Moving Least Squares，MLS）拟合巨菌草茎秆力学特性曲线并通过实例与普通最小二乘法拟合进行比较分析，说明MLS方法可以优化求解茎秆拉伸、压缩、弯曲弹性模量的精度，为进一步建立材料本构模型提供准确的理论数据支持。

1 移動最小二乘法（MLS）

1.1 基本原理

MLS是20世纪80年代发展起来的一种基于点的近似方法，具有拟合精度高、通用性强的特点，该方法首先应用于固体力学中[6]。移动最小二乘法主要可分为逼近法和插值法两种，本研究主要采用的是移动最小二乘逼近法。

1.2 基向量的选取

通常选取单项式作为基函数， 一维空间中单项式一次和二次基函数分别为：

二维空间中单项式一次和二次基函数分别为：

1.3 权函数的选取

权函数在移动最小二乘法中起着重要作用，权函数w（x-xi）反映了计算点x对全局近似的影响程度，Guass权函数的权函数因子β则说明了在计算点xi的影响域内各节点对权函数值的影响程度。权函数的选取对移动最小二乘法近似的特性有很大的影响。移动最小二乘法近似的精度在很大程度上取决于权函数。本研究采用Guass权函数。

式（8）中，r=d/R1，d为计算点x与他求解域内某一节点x1的距离；d=|x-x1|R1为该节点影响域半径，R1=k×d1k为影响域半径乘子，k值略大于1，以保证计算点的求解域内有足够的节点；d1是一个动态变量，随着节点分布的密集情况变化，当节点比较集中时d1较小，节点比较分散时d1较大，以保证所有点的定义域中包含合适数量节点，取d1为节点x1到距其最近的第Nb个节点之间的距离；Nb为给定的节点x1影响域中的节点数，节点数过少会使计算矩阵奇异或影响精度，节点数过多影响域半径，使该点的区域特性表现得不明显；β为权重因子，β越大离计算点x越近（r越小）的节点对全局近似的影响越大，而远的节点几乎没有影响。

2 试验过程

对采集来的巨菌草茎秆去顶、剥皮、锯掉结隔并编号，测量巨菌草茎秆直径，参照木材和竹材物理力学性质试验方法[7，8]，制作试验试样。拉伸试样长120 mm、宽15 mm、厚t mm，试验中间有效部分规格长60 mm、宽2 mm、厚t mm，与两端夹持部分圆弧平滑过渡，如图1a所示。压缩试样长30 mm、外径d mm、厚t mm，两端需要用砂纸打磨平整，如图1b所示。弯曲试样长100 mm、宽d mm、厚t mm，如图1c所示。

试验采用深圳市新三思材料检测有限公司制造的SNAS微机控制电子万能材料试验机进行拉伸、压缩和弯曲试验，其精度级别为1级，试验力准确度与变形准确度均在1%以内。该系统由试验机主机、RG控制器、计算机控制系统三部分组成，在试验运行过程中能动态显示载荷值、变形值、试台速度和应力-应变曲线等结果。

3 结果与分析

3.1 巨菌草茎秆拉伸试验

采用井字纹夹头夹紧试件的上下两端，设置拉力加载速度为3 mm/min。试验获得试件拉伸的应力-应变曲线。从图2中可以看出，当拉伸应力达到巨菌草茎秆最大拉伸强度后，巨菌草茎秆被拉断，应力瞬时急剧下降。测得巨菌草拉伸抗拉强度的最大值为110.3 MPa，最小值为91.4 MPa，平均值为100.4 MPa，抗拉弹性模量为600.1～691.6 MPa，平均值为644.7 MPa。

3.2 巨菌草茎秆压缩试验

将压缩试件置于平面压头的承载平面，在控制机上设置材料压缩弹性模量控制程序，压缩载荷加载速度为3 mm/min，试验获得试件的压缩应力-应变曲线。从图3中可以看出，巨菌草茎秆轴向压缩过程大致可以分为线性变形阶段、一次屈服阶段、抗力恢复阶段、二次屈服阶段和彻底破坏阶段。测得巨菌草抗压强度的最大值为8.96 MPa，最小值为5.02 MPa，平均值为7.54 MPa，抗压弹性模量160.9～197.9 MPa，平均值为184.1 MPa。

3.3 巨菌草茎秆弯曲试验

试验采用三点弯曲法，将弯曲试件作板材处理，弯曲跨度为48 mm，预加载荷10 N（保证压头与试样密切接触），弯曲压力加载速度3 mm/min。图4为计算机绘制的弯曲应力-位移曲线，弯曲应力超过最大抗弯强度后巨菌草茎秆断裂，应力下降。测得巨菌草茎秆抗弯强度的最大值为31.7 MPa，最小值为24.1 MPa，平均值为27.7 MPa，弹性模量平均值为697.5 MPa。

4 数据拟合

4.1 巨菌草茎秆拉伸特性曲线拟合对比

选取拉伸试验图2中的第二根曲线进行拟合，分别利用普通最小二乘法中16次数多项式和MLS来拟合巨菌草茎秆拉伸力学性能曲线。再利用Matlab语言编程将拉伸应力-应变曲线绘制对比图形。图5为巨菌草拉伸应力-应变的MLS和多项式拟合曲线。图6为其拟合误差对比结果，通过对比发现，MLS拟合得到的拟合曲线精度更高，其相对误差范围在-0.01～0.01。而利用16次多項式来拟合曲线，其相对误差较大。

4.2 巨菌草茎秆压缩特性曲线拟合对比

选取压缩试验图3中的第四根曲线进行拟合，利用普通最小二乘法中16次数多项式和MLS来拟合巨菌草茎秆力学性能曲线，绘制应力-应变关系曲线（图7）。通过对比拟合曲线误差（图8），用MLS拟合得到的力学性能数据更准确，其相对误差范围在-0.05～0.05。而利用16次多项式来拟合曲线，其相对误差较大。

4.3 巨菌草茎秆弯曲特性曲线拟合对比

选取弯曲试验图4中的第二根曲线进行拟合，利用普通最小二乘法中16次数多项式和MLS来拟合巨菌草茎秆力学性能曲线（图9、图10）。对拟合数据进行误差分析，得到MLS方法拟合数据误差更低，其相对误差范围在-0.05～0.05，而利用16次多项式来拟合曲线，其相对误差明显较大。

5 小结

利用移动最小二乘法（MLS）拟合巨菌草茎秆力学特性曲线，无需拟定拟合函数的形式，无需分段处理，方法具有通用性，可以通过选取不同权函数控制拟合曲线的光滑度，通过选取不同的基函数控制拟合曲线的精度[9]。

本研究使用移动最小二乘法（MLS）对巨菌草茎秆拉伸特性曲线行拟合，并与分段最小二乘法进行了比较，与其他拟合方法相比，移动最小二乘法（MLS）具有许多优点：①有较高的精度，可以得到更准确的抗拉弹性模量；②可通过调节参数来得到合适的基函数和权函数，从而获取平滑的曲线，避免了求解病态方程组的系数矩阵的情况；③移动最小二乘法（MLS）作为新的数据拟合方法，有着很强的通用性。

参考文献：

[1] 张进国，雷荷仙，黎纪凤，等.巨菌草在不同海拔高度的生长表现[J].贵州农业科学，2013（3）：112-115.

[2] 廖宜涛，廖庆喜，田波平，等.收割期芦竹底部茎秆机械物理特性参数的试验研究[J].农业工程学报，2007（4）：124-129.

[3] 沈 成，李显旺，田昆鹏，等.苎麻茎秆力学模型的试验分析[J].农业工程学报，2015（20）：26-33.

[4] 刘卫星，王晨阳，王 强，等.不同玉米品种茎秆抗倒特性及其与产量的关系[J].河南农业科学，2015（7）：17-21.

[5] 刘 丹，孙金玮，魏 国，等.移动最小二乘法在多功能传感器数据重构中的应用[J].自动化学报，2007（8）：823-828.

[6] LANCASTER P，SALKAUSKAS K. Surface generated by moving least squares method[J].Math Computation，1981，37（155）：141-158.

[7] 中国林业科学研究院. GB/T1927-1943-91，中华人民共和国国家标准：国家木材物理力学性质试验方法[S].北京：中国标准出版社，1991.

[8] 中国林业科学研究院. GB/T15780-1995，中华人民共和国国家标准：国家竹材物理力学性质试验方法[S].北京：中国标准出版社，1995.

[9] 蒋 博，蔡晓龙.基于matlab的移动最小二乘法数据拟合[J].数字技术与应用，2015（10）：110-111.