方柳平，汪继文，邱剑锋+，朱林波，苏守宝

1.安徽大学 计算机科学与技术学院，合肥 230601

2.安徽大学 计算智能与信号处理教育部重点实验室，合肥 230039

3.金陵科技学院 计算机学院，南京 211169

具有学习因子的动态搜索烟花算法*

方柳平1,2，汪继文1,2，邱剑锋1,2+，朱林波1,2，苏守宝3

1.安徽大学 计算机科学与技术学院，合肥 230601

2.安徽大学 计算智能与信号处理教育部重点实验室，合肥 230039

3.金陵科技学院 计算机学院，南京 211169

采用核心烟花动态爆炸半径策略的动态搜索烟花算法（dynamic search fireworks algorithm，dynFWA）已被证明是解决优化问题的一个重要算法。然而，dynFWA的寻优精度低且容易过早地陷入局部最优解。为了改善上述的缺陷，通过嵌入一种利用历史成功信息生成两种不同的学习因子来改进传统的动态搜索烟花算法，称为改进的动态搜索烟花算法（improved dynFWA，IdynFWA）。算法中的学习因子充分利用搜索过程中每一代最好的烟花个体信息，使得烟花具有向群体的优良搜索信息学习的能力，并且它的两种不同产生方式有助于平衡算法的局部搜索和全局搜索能力。改进后的算法在CEC2013的28个Benchmark函数上进行测试，实验结果表明IdynFWA的寻优效果明显优于dynFWA，并且比粒子群算法SPSO2011和差分演化算法DE/randto-best/1能达到更好的寻优性能。

动态搜索烟花算法；爆炸半径；变异算子；学习因子

1 引言

烟花算法（fireworks algorithm，FWA）[1]是近些年发展起来的模拟烟花爆炸产生火花这一自然现象的新型群智能算法，能够有效地解决一些优化问题。与粒子群算法、遗传算法等其他智能算法相比，FWA采用的是一种新型的爆炸搜索机制，具有爆发性。此外，烟花之间通过交互机制来计算爆炸半径和爆炸火花数目。但是，很多科研工作者很快发现传统的FWA在求解优化问题时存在一些缺陷，如适用范围小，收敛速度慢，计算耗时等。针对这些缺陷，科研工作者提出了很多改进方案，主要有两方面：第一是在传统烟花算法的基础上对算子进行分析和改进；第二是与其他算法结合成混合算法。Zheng等人对传统烟花算法的算子、映射规则和选择策略等方面进行改进，并提出了增强型烟花算法（enhanced fireworks algorithm，EFWA）[2]。接着，Zheng等人根据适应度值的优劣将烟花种群划分为核心烟花和非核心烟花，并对核心烟花采用自适应调整爆炸半径的策略提出了动态搜索烟花算法（dynamic search fireworks algorithm，dynFWA）[3]，使得算法的搜索性能得以改善，但其性能的提升主要是由于适应度值最优的烟花局部搜索能力加强，烟花之间的交互能力没有变化。此外，Zheng等人采用另一种自动调整爆炸半径的方法提出了自适应烟花算法（adaptive fireworks algorithm，AFWA）[4]。Yu等人提出使用差分变异算子替换烟花算法中的高斯变异算子的新型算法FWADM[5]。Zheng等人提出将差分演化算法中的变异、交叉和选择算子引入到烟花算法中，得到混合算法FWADE[6]。还有一些其他的改进和补充方案，例如多目标烟花算法[7-8]、混合型烟花算法[9-10]和并行烟花算法[11]。此外，FWA已经被应用到诸多领域中，主要有非负矩阵分解（non-negative matrix factorization，NMF）计算[12-14]、数字滤波器设计[15]和选择性谐波消除问题[16]等领域。

本文对传统的动态搜索烟花算法加以改进，提出了一种具有学习因子的动态搜索烟花算法（improved dynFWA，IdynFWA），加强种群中烟花向群体的优良搜索信息学习的能力，有助于平衡局部搜索和全局搜索能力，改善算法的寻优精度且具有更好的搜索性能。并采用CEC2013的28个基准函数进行测试，以检验算法的有效性。

本文组织结构如下：第2章介绍动态搜索烟花算法；第3章详细地讨论增加学习因子的变异算子以及算法的总流程；第4章是仿真实验和结果分析；第5章总结全文。

2 动态搜索烟花算法

不失一般性，假设待求解的优化问题形式如下：minf(x)∈R,x∈Ω。算法对优化问题的求解目标是在可行域Ω内，寻找一点x，使其具有全局最小适应度值。在动态搜索烟花算法中有3个重要组成部分：爆炸算子（爆炸产生火花操作）、映射规则、选择策略。

2.1 爆炸算子

众所周知，当烟花爆炸时在它周围一定的区域内会产生大量的火花，这就是爆炸火花数量和爆炸半径。对于第i个烟花xi，它的爆炸火花数量Si的计算公式介绍如下：

其中，是一个常量，用于控制火花的数量；N是烟花种群的数目。函数f(xi)表示烟花xi的适应度值，且Ymax=max(f(xi)) 为当前烟花种群中最差的烟花个体的适应度值（最大）。ε是机器最小量，用来避免除零操作。

在式（1）中，为了限制适应度值好的烟花个体不会产生过多的爆炸火花，同时适应度值差的烟花个体不会产生过少的爆炸火花，文献[1]对爆炸火花数量进行了如下的限制：

其中，a和b是根据经验设置的两个常数；round()是根据四舍五入规则的取整函数。

烟花种群被分成两类，即非核心烟花（non-core fireworks）和核心烟花（core firework），其中核心烟花是目前烟花种群中适应度值最小的烟花个体。非核心烟花的半径计算方法与核心烟花不一样。本文用Ai表示第i个非核心烟花xi的爆炸半径，ACF表示核心烟花XCF的半径，且有：

其中，是用于控制爆炸半径的常量；Ymin=min(f(xi))为当前烟花种群中最好的烟花个体适应度值（最小）。

式中，t表示当前的迭代次数；变量Ca和Cr分别用来控制核心烟花爆炸半径的增大与减小。Xˆb表示新创建的最好的火花个体，XCF表示核心烟花。

算法1 IdynFWA中的爆炸算子

算法1中，变量N和D分别表示烟花种群的数量和维数。rand(a,b)表示在区间[a,b]中产生服从均匀分布的随机数。变量Xij是第i个烟花的第j维的位置，表示火花的第j维的位置。

2.2 映射规则

上面提到的产生的火花有可能会超出可行域，为了解决这个问题，给出了以下的映射规则来处理超出边界的火花：

其中，表示第i个烟花Xi的第k维的位置；和分别为烟花第k维位置的上界和下界。

2.3 选择策略

为使烟花种群中优秀的信息能够传递到下一代种群中，算法使用一种精英随机选择策略，从烟花种群、爆炸火花这两个候选者集合中选择N个个体进入下一代。首先选择候选者集合中适应度值最小（最优）的个体，其余的N-1个个体采用随机选择策略。

3 具有学习因子的动态搜索烟花算法

在优化算法中，局部搜索能力和全局搜索能力之间的平衡是影响算法性能的重要因素之一。Idyn-FWA是在dynFWA的基础上改进的，它们的不同之处是IdynFWA增加了一个产生变异火花的新算子，称为变异算子。传统的dynFWA中核心烟花的半径计算方法过于简单，仅仅考虑上一次迭代中是否找到更优的解，搜索性能主要依赖于核心烟花爆炸半径的缩放，而没有充分利用搜索过程中的一些信息，这种搜索策略在适应度值最优的烟花个体附近做局部探测，有助于发现最优解，但在优化多峰问题时，存在较大的陷入局部最优的风险，导致算法过早地收敛。因此，dynFWA算法在搜索策略上更多地倾向于局部搜索，很难跳出多峰优化时的局部最优解的束缚。而且，核心烟花的半径每一代都会进行更新，过于频繁。这些缺点导致了传统的dynFWA具有较差的搜索能力，寻优精度低，从而容易陷入局部最优解。为了解决上述问题以及增加种群的多样性，为IdynFWA设计了一个新的产生火花的变异算子。这些新产生的火花在本文中统称为变异火花。变异算子充分利用了每一代最好的烟花位置和历史成功信息。下面详细地介绍变异算子：

其中，Xbest是目前为止找到的最好的烟花位置；c称为学习因子，用来控制新产生的火花与当前最好烟花位置之间的距离。学习因子使烟花具有向群体中优秀个体学习的能力，从而向群体内的历史最优点靠近，学习因子c的设计对整个算法的搜索效率极其重要，其根据式（6）更新：

其中，randc(a,b)是一个位置参数为a和尺度参数为b的柯西分布。从式（7）可知，学习因子c有两种不同的柯西分布产生方式，它们具有不同的位置参数和相同的尺度参数。第一种产生方式是位置参数小的柯西分布，有利于全局搜索；第二种产生方式是位置参数大的柯西分布，有利于局部搜索。式中变量P的计算公式如下：

其中，t1表示学习因子产生于位置参数较小（第一种方式）的柯西分布的次数；t2表示学习因子产生于位置参数较大（第二种方式）的柯西分布的次数。初始化时P设置为0.5，且每隔T次迭代更新一次，也就是对前T次的搜索过程进行总结，从而进行学习。

算法2 IdynFWA中的变异算子

算法2中，M是变异火花的数目。T是更新P需要的迭代次数，也就是说每隔T次对P更新一次，它的值根据经验设置。变量fitcount中当一个更好的火花个体被找到时，即，Xbest将会更新为这个新的个体。学习因子c有两种不同的柯西分布产生方式，算法2中的t1表示学习因子产生于位置参数较小即第一种方式的柯西分布的次数，t2表示学习因子产生于位置参数较大即第二种方式的柯西分布的次数。变异算子每隔T次对前面的搜索过程进行总结。这种学习因子的生成方式是从历史成功信息中学习的，为后面的搜索提供更好的寻优方向和更加优质的候选解，加强了整个算法的鲁棒性，同时反映烟花种群个体之间对信息的共享和相互合作关系。

IdynFWA的算法过程描述如下：

步骤1初始时刻随机生成N个位置，即N个烟花。

步骤2计算每一个烟花的适应度值。

步骤3循环如下的（1）到（4）步，直到满足终止条件。

（1）使用算法1产生爆炸火花。

（2）使用算法2产生变异火花。

（3）计算所有的爆炸火花和变异火花的适应度值。

（4）采用选择策略从烟花种群、爆炸火花和变异火花中选择N个个体作为下一次迭代计算的烟花。

步骤4返回最优个体的位置和其适应度值。

4 实验设置与结果分析

4.1 实验数据集和参数设置

为了验证本文所提进的IdynFWA算法的性能，分别对CEC2013的28个不同Benchmark函数进行30维和50维仿真实验分析，表1列出了Benchmark函数，函数的具体定义参考文献[17]。另外，和传统的dynFWA算法、标准的粒子群算法SPSO2011以及差分进化算法DE/rand-to-best/1进行对比实验，并加以分析。本文提出的IdynFWA的参数设置如下：M= 5，30维和50维的情况下T分别取100和1 000，且初始化时r=0.5，其他参数的设置与dynFWA一样。其中dynFWA的参数设置参考文献[3]，粒子群算法SPSO 2011的参数设置参考文献[18]，DE/rand-to-best/1算法的参数设置如下：F=0.5，CR=0.9和NP=60。每个测试函数都以D×10 000函数评估次数作为终止条件，独立运行51次。使用的实验平台是Matlab 2011b（Windows 7；Intel Core i7-2600 CPU@3.7 GHz；8 GB RAM）。

Table 1 28 Benchmark functions of CEC2013表1 CEC2013的28个Benchmark函数

4.2 实验结果与分析

表2和表3分别列出了4个算法在28个Benchmark函数30维和50维上的平均误差和标准差，表4和表5分别列出了它们在不同类型函数上的平均误差排名。其中，粗体表示4个算法中的最优解。从表2和表3中都可以看出IdynFWA总体上的寻优性能优于其他3个算法，特别是在函数f4、f10、f16上的表现较为明显，且算法也很稳定。此外，从表2也能发现与dynFWA相比，除了函数f5和f28，对于其余测试函数，IdynFWA的寻优精度都有所提高，尤其表现在多峰函数和复合函数上。同样地，从表3中发现，除了函数f8和f9，IdynFWA的寻优效果都比dyn-FWA好。对于SPSO2011和DE/rand-to-best/1，在个别函数上IdynFWA的寻优精度较差，但总的来说，IdynFWA的寻优性能还是优于这两个算法。从表4和表5中可得，IdynFWA在单峰函数、多峰函数以及全部函数的排名都比其余3个算法靠前；在复合函数上，IdynFWA排名比SPSO2011和DE/rand-to-best/1靠前，与dynFWA持平。

Table 2 Results of 4 algorithms test on 28 Benchmark functions(D=30)表2 4个算法在28个Benchmark函数上的测试结果（D=30）

在28个Benchmark函数中，f1～f5是单峰函数，f6～f20是多峰函数，f21～f28是复合函数，函数偏多；为了比较IdynFWA、dynFWA、SPSO2011和DE/randto-best/1算法的性能，本文从上面提到的3种函数中各选一个函数，因为多峰函数占的比例比较多，所以选了两个多峰函数。图1～图4分别给出了4个算法对于30维函数f4、f10、f15和f23的平均适应度值误差的进化曲线。图5～图8分别给出了4个算法对于50维函数f4、f10、f15和f23的平均适应度值误差的进化曲线。为了对比清楚，画图时对4个算法的平均适应度值误差均取以10为底的对数进行对比。由图可见，IdynFWA在30维和50维函数f4、f15和f23的

收敛精度相对于dynFWA明显都有所提高。对于30维函数f10，虽然两个算法的收敛精度是一样的，但收敛速度上IdynFWA比dynFWA快。在50维函数f10上，IdynFWA的寻优精度较弱一点，但也几乎接近。dynFWA和IdynFWA的大部分参数设置是一样的，寻优效果的改善主要是由于引入了学习因子，其中产

生于位置参数较大的柯西分布的学习因子有利于全局搜索，而产生于位置参数较小的柯西分布的学习因子有利于局部搜索。它们的引入在搜索过程中起到了较好的方向指引，减少了无效的搜索；学习因子的自动调整也在一定程度上提高了搜索精度，从而获得了更佳的搜索性能。另外，IdynFWA的寻优性能也远远优于SPSO2011和DE/rand-to-best/1算法。

Table 3 Results of 4 algorithms test on 28 Benchmark functions(D=50)表3 4个算法在28个Benchmark函数上的测试结果（D=50）

Table 4 Rank of mean errors on 28 Benchmark functions(D=30)表4 在28个Benchmark函数上的平均误差排名（D=30）

Table 5 Rank of mean errors on 28 Benchmark functions(D=50)表5 在28个Benchmark函数上的平均误差排名（D=50）

Fig.1 Evolution curve off4图1 函数f4的进化曲线

Fig.2 Evolution curve off10图2 函数f10的进化曲线

Fig.3 Evolution curve off15图3 函数f15的进化曲线

Fig.4 Evolution curve off23图4 函数f23的进化曲线

Fig.5 Evolution curve off4图5 函数f4的进化曲线

Fig.6 Evolution curve off10图6 函数f10的进化曲线

Fig.7 Evolution curve off15图7 函数f15的进化曲线

Fig.8 Evolution curve off23图8 函数f23的进化曲线

Table 6 Mean errors of differentTon 28 Benchmark functions表6 不同的T值在28个Benchmark函数上的平均误差

此外，根据上面的介绍，变异算子每隔T次对前面的搜索过程进行总结学习，T的取值对算法的寻优效果影响较大。于是本文对T进行了调节分析，使用控制变量法，即固定其他相关参数不变，通过单独改变T的取值，观察其对算法结果的影响。在单峰函数、多峰函数和复合函数中进行实验，T取值依次为100、500和1 000，每个测试函数都以D×10 000函数评估次数作为终止条件，独立运行51次。实验结果如表6所示，当D=30时，在单峰函数和多峰函数上表现最差的都是T=1 000，总体上表现最好的为T=100，特别是在多峰函数上表现尤为明显。T= 500在总体上介于上面两者之间。当D=50时，总体上表现最差的为T=100，其中只有4个函数在该情况下取得最好的值。T=500和T=1 000时寻优效果差不多，但后者在单峰函数上寻优精度优于前者。如果D取较小值时，函数评估次数D×10 000相应地也会减小，此时T也应该取较小值。因为如果T取较大的值，变异算子向前面搜索过程的学习次数就会减少，从而不能充分利用历史成功信息；反之亦然。总之，当函数评估次数D×10 000较小时，T值一般取较小值；当函数评估次数D×10 000较大时，T值也相应地取较大值。

5 结束语

本文针对传统的动态搜索烟花算法中存在的寻优精度低，容易陷入局部最优解的问题，提出了一种改进的具有学习因子的动态搜索烟花算法（Idyn-FWA）。通过引入利用历史成功信息的学习因子使得新加入的变异算子具有自动调整性，为后面的搜索过程提供了更好的寻优方向和更优质的候选解，提高了算法的搜索性能。基于CEC2013上的28个 Benchmark函数的仿真结果表明，IdynFWA能够有效地改进算法的寻优精度，平衡算法的局部搜索和全局搜索能力。然而，IdynFWA的缺点是算法耗时相对较长，由于其采用的是一种新型的爆炸搜索机制，这个特点既是优点也是缺点，优点表现在具有爆发性，这也是研究的难点之一。

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FANG Liuping was born in 1992.She is an M.S.candidate in computer application technology at Anhui University. Her research interest is intelligent algorithm.

方柳平（1992—），女，安徽安庆人，安徽大学计算机应用技术专业硕士研究生，主要研究领域为智能算法。

WANG Jiwen was born in 1958.He is a professor and Ph.D.supervisor at Anhui University.His research interests include intelligent algorithm and fluid animate simulation,ect.

汪继文（1958—），男，安徽宿松人，安徽大学教授、博士生导师，主要研究领域为智能算法，流体运动的动画模拟等。

QIU Jianfeng was born in 1979.He received the Ph.D.degree from Anhui University.He is a lecturer at Anhui University,and the member of CCF.His research interests include swarm intelligence,evolutionary computation and machine learning,etc.

邱剑锋（1979—），男，安徽桐城人，博士研究生，安徽大学讲师，CCF会员，主要研究领域为智能优化算法，进化计算，机器学习等。

ZHU Linbo was born in 1991.He is an M.S.candidate in computer application technology at Anhui University.His research interest is intelligent algorithm.

朱林波（1991—），男，安徽明光人，安徽大学计算机应用技术专业硕士研究生，主要研究领域为智能算法。

SU Shoubao was born in 1965.He received the Ph.D.degree from Anhui University in 2009.Now he is a professor and M.S.supervisor at Jinling Institute of Technology,and the senior member of CCF.His research interests include swarm intelligence,big data computing and embedded control optimization,etc.

苏守宝（1965—），男，安徽六安人，2009年于安徽大学获得博士学位，现为金陵科技学院教授、硕士生导师，CCF高级会员，主要研究领域为群智能，大数据计算，嵌入式控制优化等。

Dynamic Search FireworksAlgorithm with Learning Factor*

FANG Liuping1,2,WANG Jiwen1,2,QIU Jianfeng1,2+,ZHU Linbo1,2,SU Shoubao3
1.School of Computer Science and Technology,Anhui University,Hefei 230601,China
2.Key Laboratory of Intelligent Computing and Signal Processing,Ministry of Education,Anhui University,Hefei 230039,China
3.School of Computer,Jinling Institute of Technology,Nanjing 211169,China
+Corresponding author:E-mail:qiujianf@ahu.edu.cn

Dynamic search fireworks algorithm(dynFWA)which adopts a dynamic explosion amplitude for core fireworks(CF)has been proved to be a great algorithm for solving optimization problems.However,dynFWA has the disadvantages that it is easy to fall into local optimal solutions prematurely and has slow convergence rate.In order to improve the above mentioned problems,this paper improves conventional dynFWA by embedding two different learning factors which make use of the history successful information,referred as improved dynamic search firework algorithm (IdynFWA).The learning factors take advantages of the information of the best firework in each generation,which makes the fireworks have the ability to learn from the excellent search.Moreover,two different generations of learningfactor are beneficial to balance the local search and global search ability.The improved algorithm has been tested on 28 benchmark functions of CEC2013.And the experimental results show that IdynFWA significantly outperforms dyn-FWA,and achieves better performance than both SPSO2011 and DE/rand-to-best/1.

dynamic search fireworks algorithm;explosion amplitude;mutation operator;learning factor

10.3778/j.issn.1673-9418.1604027

A

：TP18

*The National Natural Science Foundation of China under Grant No.61375121(国家自然科学基金);the Provincial Projects of Natural Science for Anhui Universities under Grant No.KJ2013A009(安徽高校省级自然科学研究项目);the Doctoral Scientific Research Foundation of Anhui University(安徽大学博士启动基金);the JIT Scientific Research Program for Introducing Talents under Grant No.jit-rcyj-201505(金科院引进人才科研项目).

Received 2016-04,Accepted 2016-06.

CNKI网络优先出版:2016-06-23,http://www.cnki.net/kcms/detail/11.5602.TP.20160623.1401.018.html

FANG Liuping,WANG Jiwen,QIU Jianfeng,et al.Dynamic search fireworks algorithm with learning factor. Journal of Frontiers of Computer Science and Technology,2017,11(3)：491-501.