田丹妹++戴莹

数形结合思想是学习数学最为广泛和常用的一种数学思想方法，它能够将抽象问题直观化，利于教师的教和学生的学。在当今生活化教育的背景下，运用数形结合思想方法显得更为重要，因此有必要对数形结合思想进行研究，以下是从国外和国内两方面搜集到的有关数形结合思想的研究资料，整理如下：

一、国外有关数形结合思想方法的研究

早在毕达哥拉斯时代，数形结合思想就萌芽了。此后便以跳跃式步伐快速向前发展。恩格斯认为：“‘数与‘形是数学的基本研究对象，他们之间存在着对立统一的辩证关系。”他的这一观点指出了“数”和“形”这一矛盾双方是相互依存，相辅相成的。“数”与“形”的配合运用为解决数学问题提供了方向，有利于将抽象的数学符号同直观形象的图形结合起来，实现由抽象到具体的转化。美国数学家斯蒂恩也指出了“数”和“形”之间相互配合发展的重要性，他谈道：“若一个特定问题，可以被转为一个图形，则思想就整体地把握了问题，而且是创造性地思索了问题的解法。”足见“数”与“形”结合的重要性。拉格朗日也认为：代数和几何的发展是相互依存不可分离的，抛弃或忽视任何一方，它们的发展就会变得缓慢，应用范围就会缩小，“但是如果这两门科学结为伴侣，那么它们就能互相吸取新鲜活力，从此便以快速的步伐走向完善。”这就为数形结合思想的发展提供了有力的证词。进入17世纪上半叶，法国数学家笛卡尔通过直角坐标系建立了“数”与“形”之间的联系，数轴的建立使人们对“数”与“形”的统一有了新的认识，“把实数集与数轴上的点集一一对应起来，数可以视为点，点也可以视为数，点在直线上的位置可以数量化，而数的运算也可以几何化。”从而真正实现了“数形结合”。当今，有关国外数形结合思想研究还在不断发展，杨彦在他的《英国初中代数课程“数形结合”思想研究》中提到：“在英国初中的代数课程中要求对某些特定内容（如：函数、不等式解集等）了解它的几何形式。”其次，“英国的数学教育重视实用性，‘用数学的意识和能力的培养贯穿课程始终”。教材的设计上也很用心，大量选取了来自现实生活和跨学科的内容，将数形结合思想贯穿于解决复杂问题的始终。潜移默化地影响学生的数学学习。罗寿兰对日本高中数学教材研究后指出“日本的很多数学问题与生活实际联系紧密，书本图文并茂。形象直观，便于学生理解，有些内容学生可以通过自学获取知识。”从这一点上来看，对我国数学教育具有很大的借鉴价值。但从梳理的国外文献来看，其研究主要是从“数”和“形”的关系进行的，很少从中小学数学教学的角度进行阐释，而且研究多以初高中为主，小学的研究甚少。

二、 国内有关数形结合思想方法研究

数形结合思想在我国的研究比国外起步晚。“数形结合”一词正式出现是在华罗庚撰写的《谈谈与蜂房结构有关数学问题》中提到“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。” “数形结合”一词推出后不久，立即获得了教育界的广泛认可，此后研究“数形结合”的学者越来越多。通过对搜集到的文献分析，发现国内对数形结合思想的研究主要是从“以形助数”、“以数解形”、“数形互助”三个方面着手的，以下是从三方面分别梳理的文献：

1.有关“以形助数”的研究

数学是研究数量关系和空间形式的科学，毋庸置疑，“数”和“形”是數学研究的对象。但有的数量关系抽象，学生在把握上有一定难度，而“形”具有形象直观的优点，恰恰在帮助学生理解上起到了很好的促进作用，即“以形助数”，也就是借助图形的直观帮助学生理解抽象的数和数量关系。由于小学阶段的数学知识大部分来自实际生活，再从实际生活中抽象出数学知识，小学生由于受思维发展不成熟等因素的限制，这些概念会阻碍学生的理解，使学生难以接受和掌握。基于这一点，有些学者认为“教师借助以形助数的思想与方法呈现相关概念，会使这些概念以清晰明了的方式呈现在学生面前，因而易于被小学生所理解、接受和掌握。”通过“以形助数”在教学中的运用，能够帮助学生将抽象问题变具体，复杂问题变简单，为学生更好地学习数学知识提供了便利。“要让学生掌握抽象的数学知识，就必须具有丰富的感性材料作支撑。”正如宋英海在他的论文《数形结合思想在初中数学解题中的应用》中提到；“‘形能映射更多的具体思维，在解决问题时起关键的定性作用。”只有在学生面前呈现大量的感性材料，让学生自己去观察、发现和探索，学生才能够从中提炼出相关的数学知识，其思维的发展才不会受限制。张兴广也在他的论文《以形思数，使数学问题具体化》中指出：如果学生在做题过程中能够结合直观的图形，分析出问题所给的数量关系，将数量关系和图形结合起来，发现其中隐含的规律和运算法则等，总结出做题的方法，使抽象复杂的问题变得简单易解，从而激发学生学习的兴趣，提高学生分析问题和解决问题的能力。可见，“以形助数”的运用能够帮助学生将图形的性质和图形直观的优点结合起来研究数学问题，将抽象化为直观，为更好地学习数学知识打基础。就梳理的文献来看，他们的研究有一个共同之处，即都是通过借助图形形象、直观的特点解决代数问题，帮助学生获得理解知识的方法和途径，调动学生学习的兴趣。但遗憾的是有关“以形助数”的研究在函数方面研究得较多，且以初中和高中的研究为主，在其他方面的研究少之又少。

2.有关“以数解形”的研究

有关“以数解形”这一表现形式说法不一，主要有“以数解形”、“以数助形”、“以数想形”。但无论其如何表述，始终是为了弥补“以形助数”的不足，借助代数知识解决较为抽象复杂的几何问题。“以形助数”虽然能根据给出的“数”的结构特点构造出与之相应的几何图形，用几何方法解决代数问题，使抽象的概念变得直观、具体，利于学生理解，但“以形助数”在解决数学问题中不具有普遍性，因此，能不能通过数的运算把几何图形的问题转化为代数方法解决？即“以数解形”。杨锋泼在他的论文《初中学生数形结合思想培养的探究》中指出：“以数助形”能够弥补“以形助数”的不足之处，是解决数学问题的有效手段。 “恰当地利用‘以数助形能够使问题直观显现，省去大量的理论分析过程。”借助代数演算的方法解决数学问题，将复杂问题简单化，达到轻松学习。蔺月薇在她的《浅析数形结合思想在小学数学课堂中的应用》也谈道：“‘形具有直观形象的优势，但也有其粗略和不便于表达的劣势。”“‘以数解形能够借助数的精确性和严密规范性来阐明形的某些属性，将形向数的层面上进行转化和沟通。”因此，在教学过程中，要结合数学学习的特点，以简洁准确的数学描述加上题目中适用和隐含的公式、定理或运算法则等全面理解“形”的特点，才能更好地衬托出数学抽象性与严密性的特征，使学生理解更为准确和全面。专家指出：在学习中，合理的运用数与形相结合的观点，将几何问题转化为代数方法解决，“通过数的运算和变式求出相应的结果，则解题方法容易寻找。”宋英海在他的《数形结合思想在初中数学解题中的应用》中也谈道：初中数学中，“形”具有直观、形象的优点不可否认，但看待任何事物都要采用一分为二的眼光，“‘形的缺点就是它不很精确。”有些图形的表示虽然简单，但它其中蕴含的规律抑或是答案却未必能一眼看出来，在这种情况下就需要借助代数方法来分析和计算，以确保问题研究的缜密性和精确性。曾鹏在他的《“数与形”教学实践与反思》中指出：当学生面对复杂图形时，要发现其中“形”的规律显得困难，因此“教师要引导学生从‘数的角度揭示‘形的规律，帮助学生辩证地思考‘数与形的问题，体会以数解形的好处。”在数学中，有关代数三角问题，在研究的过程中可以借助图形看出它的对称轴、对称中心、周期等基本性质，而对于较复杂的几何图形需要通过计算和对题目中条件的挖掘和分析，才能准确判断图形的变化和性质，最终获得解决问题的思路和方法。足以见得“以数解形”在数学运用中的重要性。

3.有关“数形互助”的研究

在数学中，有些问题可以通过“以形助数”的方式解决，有些用“以数解形”获得答案，还有的需要两者互相配合运用。即“数形互助”。“数形互助”指在解决数学问题时同时利用“以形助数”和“以数解形”，达到“数形互译”，将问题中的数量关系以图形表现出来，再利用图形将抽象的数量关系变得具体，接着对图形进行观察、分析和联想，再慢慢将图形译成算式，从而解决问题。 “数”和“形”是紧密联系的，在研究“数”的时候，往往会借助于“形”的直观，在探索“形”的特征时，往往又会联系“数”的简洁。有学者指出：在数学问题中需要“数”和“形”的互相变换，看问题时要想到用“形”的直观变为“数”的准确，还要由“数”的精确联系到“形”的直观。他认为解决这些问题的关键就在于需要从已知和结论同时出发，认真分析找出内在的“形”“数”互变。苏文旭在他的论文《数形互助相约函数浅识》中指出：依形判数，以数助形，直观形象。因此，在教育教学中，要善于运用“数形结合”的方法思考问题，注重观察和挖掘图形蕴涵的数量关系，正确绘制图形反映数量关系，切实把握“数与形”的对应关系等能力。只有在运用“数形结合”过程中找准“数与形”之间的联系，才能在最大限度上发挥数形结合思想的好处。于灵在她的《运用“数形结合思想”指导初中函数教学研究及课例分析》中也提到了：“数形转换”则是根据数形对立统一的特性，由图形分析数与式的结构，展开丰富联想，将其进行适当的相互转换，化抽象为具体，找到内在联系。他的这一观点对解决函数问题提供了思路。在解决有关函数问题时，我们不可能只关注题目中给出的数量关系，还需要结合函数图像的性质和特征分析隐含在题目中的条件，将图形和数量关系建立联系，将数量关系和图像配合研究，从而整理出一套逻辑清晰且合理的解决方案。这一方法对解决解析几何问题同样适用，胡继松在他的论文《数形结合思想及其应用》中谈到了：解几何图形背景题的关键是运用数形结合思想，理清图形中的数量关系，寻找数据之间的联系。他的观点为学生解决有关解析几何的问题指明了方向，能够帮助学生在以后解决有关解析几何问题时找准有关图形中蕴含的数量关系，分析出数据之间的联系，从而获得解决问题的最佳办法。将“数”与“形”结合起来看问题，能够使问题更加清晰和易于理解，也有利于学生对知识的掌握，拓宽学生的解题思路，还能为学生今后更为系统地学习更高层次的数学知识奠定良好的基础。

三、综上所述，这些研究，对本文的借鉴价值与启发意义主要有：

一是总体上概括了数形结合思想方法在国内外目前的研究概况，从而为我们的研究提供了依据。二是揭示了数形结合思想中包含的基本内容和情形，从而使我们的研究更具有针对性。但在梳理文献中不难发现：

1.研究数形结合思想三种情形的文献较多，但其研究多以个例呈现，其研究粗浅。“数形结合”是数学发展的需要，是学习数学常用的数学思想方法，是解决数学问题不可或缺的工具。因此，数形结合思想方法的运用需要引起广大教育工作者的重视，并努力将数形结合思想贯穿于自身教学的始终。然而，在研读了大量的有关数形结合思想的资料分析得出：有关数形结合思想在“以形助数”、“以数解形”、“数形互助”方面的研究较多，但其研究只是针对个别的知识点以例题的方式呈现，提出了自己的教学方法和建议，没有从教材本身出发，全面分析教材内容中包含的数学思想，从而导致提出的教学建议在一定程度上具有特殊性，不具備普遍性。

（1）研究初高中关于数形结合思想在教学中应用的文献多，而研究小学的较少。数形结合思想是一种重要的普遍的学习数学的思想方法，无论是在小学抑或是初高中，都是学生在学习和解题过程中所要用到的，是值得学生掌握的一种思想方法。但就阅读的文献来看，大部分以研究初高中为多，只有极少篇目的论文是研究小学数学中有关数形结合思想的应用，虽然在查看文献的过程中发现期刊类研究小学方面的较多，但都是笼统的，宽泛之谈。

在小学数学教学中，合理运用数形结合思想方法，既符合小学生学习认知规律，也是对新课程教学理念的落实与实施。因此，对数形结合思想进行研究有利于教师更好地开展教学活动，提高学生的数学思维能力。

【作者单位： 渤海大学教育与体育学院 辽宁】