准确把握函数的对称性解题例说

☉浙江省宁海县知恩中学 徐明月

对称性是函数的重要性质，其中主要有两种类型：

（1）一个函数自身的对称性.

对于特殊的函数，如奇函数关于原点对称，偶函数关系y轴对称.对于函数f（x），若存在常数a使得任意x，都有f（a+x）=f（a-x），则f（x）关于直线x=a对称；对于函数f（x）；若存在常数a，b，使得任意x，都有f（2a-x）=2b-f（x），则函数f（x）关于点（a，b）成中心对称等等.

（2）两个函数之间的对称性.

底数相同的指数函数与对数函数互为反函数，两个函数的图像关于直线y=x对称；y=f（x）与y=f（-x）关于y轴对称；y=f（x）与y=-f（x）关于x轴对称；y=f（x）与y=-f（-x）关于原点对称，y=f（x）与y=-f（2a-x）+2b关于点（a，b）对称等等.

解题中要准确识别对称的类型，利用相关的对称性解题.

一、关于直线y=x对称

若两个函数互为反函数，则这两个函数的图像关于直线y=x对称，常见的类型是底数相同的指数函数与对数函数互为反函数.

例1已知函数y=ax，y=xb，y=logcx的图像如图1所示，则（）.

A.a＞b＞c

B.a＞c＞b

C.c＞a＞b

D.c＞b＞a

解析：a为指数函数的底数，b为幂函数的指数，c为对数函数的底数.

图1

对于a，c，由指数函数与对数函数的图像，易知a＞1，c＞1，但不易直接比较大小.利用指数函数与对数函数互为反函数的关系，将y=ax的图像转化为其反函数y=logax的图像，如图1中粗线所示.进而可得出c＞a.

故正确选项为C.

由图像关于y=x对称得|PQ|最小值为2dmin=（1-ln2）.

故正确选项为D.

二、关于y轴对称

若函数y=f（x）为偶函数，则对于任意的x，都有f（-x）=f（x）=f（|x|），解题中利用此关系，常可有效避免分类讨论.

例2（2015年天津理科卷）已知定义在R上的函数f（x）=2|x-m|-1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）.

A.a＜b＜cB.a＜c＜bC.c＜a＜bD.c＜b＜a

解析：因为函数f（x）=2|x-m|-1为偶函数，所以m=0，即1=2，

b=f（log25）=2log25-1=4，c=f（2m）=f（0）=20-1=0.

所以c＜a＜b.

故正确选项为C.

变式已知函数f（x）=x2+ex-（x＜0）与g（x）=x2+ ln（x+a）的图像在存在关于y轴对称点，则a的取值范围是（）.

解析：由题条件易知，存在x0∈（-∞，0），满足+ex0 -=（-x）02+ln（-x0+a）⇒ex0 -ln（-x0+a）-=0有负根，当x趋近于负无穷时，ex0 -ln（-x0+a）-趋近于负无穷，因为函数h（x）=ex-ln（-x+a）-在定义域内是单调递增，所以h（0）=-lna＞0，所以lna＜ln⇒a＜，故选B.

三、关于原点对称

若函数y=f（x）为奇函数，则对于任意x，都有f（-x）= -f（x），或f（-x）+f（x）=0.根据条件准确识别出相关的性质是问题顺利求解的关键.

例3已知函数f（x）的定义域为R，∀a，b∈R，若此函数同时满足：①当a+b=0时，有f（a）+f（b）=0，②当a+b＞0时，有f（a）+f（b）＞0，则称函数f（x）为Ω函数.

下列函数：①y=x+sinx；②y=3x-（）x；③y=是Ω函数.（填出所有符合要求的函数序号）

解析：由条件①知，当a=-b时，f（-b）+f（b）=0，进而可知函数f（x）为奇函数；

由条件②知，当a＞-b时，有f（a）＞-f（b）=f（-b），即函数f（x）在定域内为增函数.

函数y=x+sinx与函数y=3x-（）x既是增函数；函数为奇函数，但不是非单调函数.

故正确答案为①②.

变式平面若直角坐标系内的两点P、Q满足条件：①P、Q都在函数y=f（x）的图像上，②P、Q关于原点对称，则称点对［P，Q］是函数y=f（x）的一对“友好点对”（注：点对［P，Q］与［Q，P］视为同一对“友好点对”）.

A.0B.1

C.2D.3

解析：此题的关键点在于y轴两侧的点关于原点对称，故可联想到函数的奇偶性，即奇函数的性质，作出f（x）=-x2-4x（x＜0），关于原点对称的图像，如图2中虚线所示，即可得出其与函数f（x）=log2x（x＞0）的交点个数为2，故答案C.

图2

四、关于直线x=a对称

例4（2015年福建卷）若函数f（x）=2|x-a|（a∈R）满足f（1+x）=f（1-x），且f（x）在［m，+∞）单调递增，则实数m的最小值等于_______.

解析：由f（1+x）=f（1-x）得函数f（x）关于x=1对称，故a=1，则f（x）=2|x-1|，由复合函数单调性得f（x）在［1，+∞）递增，故m≥1，所以实数m的最小值等于1.

变式已知函数f（x）=cosxsin2x，判断函数f（x）的图像是否关于直线x=对称.

五、关于点（a，b）对称

例5（2016年全国卷Ⅱ）已知函数（fx）（x∈R）满足（f-x）=2-（fx），若函数y=与y=（fx）图像的交点为（x，

1y）1，（x2，y）2，…，（xm，ym），则（xi+y）i=（）.

A.0B.mC.2mD.4m

解析：由f（-x）=2-f（x），得f（x）关于（0，1）对称，而y=也关于（0，1）对称，所以对于每一组对称点xi+xi′=0，yi+yi′=2，所以m，故选B.

图3

总之，在解答与函数对称性相关的问题中，要准确识别出函数的性质，图像关于直线对称，还是关于点对称，是一个函数自身的对称性，还是两个函数间的对称性，从而准确利用其解题.