从教学教材的心理化视角谈“用教材教”*<br/>——以人教A版必修5“3.4基本不等式：≤”为例

从教学教材的心理化视角谈“用教材教”*
——以人教A版必修5“3.4基本不等式：≤”为例

2017-03-10

中学数学杂志 2017年3期

从教学教材的心理化视角谈“用教材教”*

☉湖南省株洲县第五中学方厚良

对教材的使用有两个极端，一是机械地“照本宣科”，一是脱离教材，前者为大家所诟病，后者却常被迷惑为“创造性使用教材”，其实都是对教材的不正确认识.从心理化视角研读教材、使用教材，可以克服上述两个极端的不好影响，发挥教材的最大效益，提高教学质量.教材心理化包括编写教材的心理化和教学教材的心理化，编写教材的心理化主要是对教材编写者而言，包括“教学什么”，还包括“怎么教学”；教学教材的心理化主要针对教师和学生，基于对教材编写意图领会的基础之上，融入教师的教材理解和学生理解.本文以人教A版必修5“3.4基本不等式：”为例，从教学教材的心理化角度谈“用教材教”.

一、教学教材的心理化的内涵与表现

教学教材，狭义地讲是指用之于教学的课本纸质教材，广义的教学教材还包括音像、模具、课件、学生作业等材料.教学教材既是编制教材的扩展，也是对教材成效的检验.教学是对教材能动的改造加工过程，将课本静态呈现的东西变为教学活动，特别是丰富生动的思维活动，这一过程实际上就是一个心理化的过程，当然从规范和科学的标准来要求教学教材的心理化，需要对其进行内涵界定和表现描述.

教学教材心理化主要是指教师基于对教科书的逻辑顺序和心理顺序的解读、基于教师自身的数学理解以及教师对学生学习心理和认知发展的把握，将教材从静态的结构展开为生动活泼的数学活动过程，并通过数学活动实现数学的课程功能和育人目标.教学教材的心理化主要针对教师和学生而言，它与编写教材的心理化有联系（教学教材的心理化需要正确把握编写教材的心理化），但主体不一样，看问题的角度也不一样.教材是教与学的材料和载体，编者、教师和学生因教材而发生关系，编者要考虑教师的教和学生的学，教师的教要充分考虑编者的意图和学生的学情，学生对教材的自学和在教师指导下的教材学习是不同的学习状态，教师作为实施教学行为的主导者，在教学教材的心理化中起桥梁和纽带作用.文［1］认为，教学教材的心理化主要集中在学习者认知策略及阅读速度、教授策略及教材的选择等方面.本文探讨的数学教学教材的心理化主要表现在以下几个方面：先行组织者策略、元认知策略、多元表征和转换策略、最近发展区理论下的教材处理和变式教学等.

二、从教学教材的心理化视角谈“用教材教”

1.先行组织者策略

先行组织者教学策略是奥苏贝尔的意义学习理论的一个重要组成部分.有意义的接受学习是奥苏贝尔所主张的主要学习形式.他特别强调个体的认知结构对学习的重要影响，而先行组织者是改进认知结构和促进新知识保持的主要手段.所谓先行组织者是指安排在学习任务之前提供给学习者的引导性材料，它比学习任务具有更高一层的抽象性和包摄性.提供先行组织者的目的就在于用先前学过的材料去解释、整合和联系当前学习任务中的材料（并帮助学习者区分新材料和以前学过的材料）.先行组织者可以是比较性的，也可以是讲解性的，但是在呈现作为先行组织者的概念时，必须仔细解释这些概念或者命题的基本特征.

重要不等式“a2+b2≥2ab”是基本不等式的先行组织者，学生初中学习过（至少有完全平方的经验），教材设置“探究”，以北京召开的第24届国际数学家大会的会标为问题背景，从中国古代数学家赵爽弦图构造“风车”，引出几何背景并仔细解释该不等式的基本特征，为学习基本不等式提供了如下几点准备：从一般与特殊的关系提供发现基本不等式的可能（代换法）；从类比的角度提供研究方法（代数的、几何的、数形结合）和证明思路.需要指出，配方变形的技能，学生对于显性的二次结构还好，但要看出a，b分别是，的平方这种隐性的“二次”关系是有困难的，教材对此有清醒的认识，先讲清在a＞0，b＞0情况下，用，代替a，b，由a2+b2≥2ab得到a+b≥2，再变形得到基本不等式用分析法证明基本不等式时，采用填空的形式要学生独立完成，需要学生反思上一步中的“代换法”，对基本不等式的结构再次分析、确认，找到与a2+ b2≥2ab的联系.教学时要在学生独立思考、探讨交流的基础上，重点、清晰地揭示以上关系，养成用联系的眼光看待数学知识间的关系.

2.元认知策略指导

元认知是个体关于自己认知过程的知识和调节这些过程的能力，简单点说就是关于认知的认知.元认知策略是一种典型的学习策略，指学生对自己的认知过程及结果的有效监视及控制的策略.元认知策略控制着信息的流程，监控和指导认知过程的进行，包括计划策略、监控策略（注意策略）和调节策略.阅读自学、独立思考、问题探究等更需要元认知策略.

课本设置两个“探究”和一个填空证明活动，有意引导学生观察、比较、反思，调控自己的思维活动，这是好的，但对基本不等式的结构和用它求最值“一正二定三相等”条件的认识还需要教师通过精心设置问题和用元认知提示语给予强化.下面从教材习题中选取两道，主要从“元认知策略”角度帮助学生对基本不等式的结构和应用深化认识.

题1（P54习题3.4A组6）已知a，b是互异的正数，A是a，b的等差中项，G是a，b的等比中项，A与G有无确定的大小关系？

说明：丰富基本不等式的背景和知识间的联系，将基本不等式作为一个重要的模型来整体认识，并通过概念比较，进一步体会“一正二定三相等”条件.在应用中学会自我提醒，逐一检验条件的满足，而不是粗糙、模糊地得出结论.

题2（P103复习参考题A组8）甲、乙两地相距skm，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过ckm/h.已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（单位：km/h）的平方成正比，且比例系数为b；固定部分为a元（a＜bc2）.为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

3.多元表征策略

布鲁纳认为，任何知识领域都可以用动作式表征、形象式表征和符号式表征来表示，这三种表征系统是学生认识和把握世界的三种不同的语言.大家知道数学有三种语言，即文字语言、图形语言和符号语言，对同一个数学对象（概念、定理、公式等）可以用不同语言表示，不同语言之间又可以进行转换.布鲁纳讲的表征系统与数学语言的表征虽有差异，但精神有相通之处，多元表征能促进学生对数学对象本质的理解，也有助于数学结论的记忆和应用中的迁移.

再看复习参考题A组T7：在周长为定值P的扇形中，半径是多少时扇形的面积最大？

解：设扇形的半径是x，扇形的弧长为y，因为P=2x+ y，扇形的面积为时，可以取到S的最大值.故半径为时扇形面积最大值为

教学观察发现，不少学生不能把2x，y视为“元”（他们习惯于视x，y为元），从而不能将S=xy凑变为×（2x）y做不下去，要么就乱做一气，如令x=y凑一个答案出来.

还有，多元表征可以和变式训练结合.一方面，对基本不等式可以从和式（a+b）与积式（ab）进行转化，如“和为定值积有最大值；积为定值和有最小值”，再如：已知a，b∈R+，ab=a+b+3，求a+b和ab的取值范围.一方面，熟悉基本不等式的种种变式：ab≤等.这些变式有助于对基本不等式的结构的认识走向深刻，也便于从非标准形式中“看出”基本不等式来.

4.最近发展区理论

最近发展区是维果茨基对社会互动如何可能成为最有效地帮助学习者内化心理机能的一个概念，定义为学习者在某一领域内能够独立完成的任务，与这一学习者与成人或同伴一起工作时所能完成的的任务间的距离，这一距离或区域是学习者极有可能达到的一个区域，因为今天学习者在别人的帮助下能够做的的事情，可能就是不久的将来他能够独立完成的事情.我们可以将处于最近发展区内的教学构想为辅导式的教学或提供合作式的解决问题的机会.

“教师教学用书”建议基本不等式这一小节安排3课时，后面的复习小结也安排3课时，至于具体如何安排内容，如何将任务分解到具体课时则没有说明.

对基本不等式求最值需满足“一正二定三相等”条件和一些变形技术教材没有相应的例题，要学生自发领悟比较困难，前面提到的教材上的习题对学生来说就相当有难度，根据最近发展区理论，设置一节“基本不等式与双勾函数”的小专题是比较适宜的，下面给出一份教学设计：

问题1下列函数中最小值为2的是（）.

说明：上述两问题提供先行组织者作用，一是明确基本不等式求最值需满足的“一正二定三相等”条件，养成逐步检验的习惯；二是进一步熟悉双勾函数的图像和性质，为后面的进一步讨论提供支持.

问题3错在哪儿？

请问，上述解答是否有问题，问题出在哪儿？如何更正？

说明：先要学生独立思考，再交流、讨论、反思、辨析，发现问题所在：两次使用基本不等式，取等的条件不能同时满足

正确解法2：由a+b=1，得b=1-a，又a，b∈R+，所以a∈（0，1），

问题4（P103复习参考题A组8）甲、乙两地相距skm，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过ckm/h.已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（单位：km/h）的平方成正比，且比例系数为b；固定部分为a元（a＜bc2）.为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

解：设汽车运输成本为y，则y=（bv2+a）×=sbv+