不等式易错题型分类透析

☉河北省石家庄二中南校区 龙洋

作为高中数学学习的重要内容，不等式方面的知识点比较多，题型灵活多变，学生在解题时常常会出现误解或者无法求出的现象，影响了解题准确性.为了帮助高中生攻克不等式问题求解难关，有必要对其常见易错题型和解题技巧进行深入探讨，从而不断提升学生的不等式求解能力.

一、与线性规划相关的易错题型及解题技巧

在不等式学习的过程中，常见的一类问题就是不等式和线性规划部分知识相结合，主要是为了求解出可以满足最终求解目标的最小值或者最大值.但是该种不等式类型题涉及面积求解和定义域等方面的数学知识，所以为了避免我们在解题过程中出现差误，必须要充分了解不等式性质和线性规划二者之间的联系性，然后在此基础上来正确解决有关的数学题目.

例1已知a＞0，参数x，y满足如下条件：①x+y≤3；②x≥1；③y≥a（x-3），如果z=2x+y的最小值为1，试求a的值.

分析：该道例题是一道典型的不等式和线性规划题目相结合的例题，且该道题目区别于一般线性规划问题求解，而是先给出了最值，反推其中某条直线的参数，这就要求学生在解题的时候要注意转变传统的求解思路，采用逆向思维来进行求解.而为了解题方便，在实际的求解过程中可以先绘制出如图1所示的三条直线在坐标轴上的区域示意图.

图1

解：如果目标函数经过区域A点时的最小值为1，那么可知A点此时的坐标值为（1，-2a），将其代入目标函数可得1=2-2a，求得a=.

小结：实际上，针对该种类型数学题目的求解，需要着重关注如下几个方面：（1）要对函数最值问题进行密切关注，明确其中的不等关系，并绘制出相应的可行域范围.在本道例题中就给出了参数a的取值范围a＞0的条件，可知直线y=a（x-3）必过第一象限和第三象限，这就可以将基本上确定了三角形可行域，避免我们在选择可行域时候弄错方向.（2）该类型题目中常常为目标参数设定未知参数来增加题目的动态性与开放性，区别于一般最值求解问题，需要从结论入手来动态地分析图形，并要注意在变化过程中找寻解题关键点，加之目标函数在可行域中的实际变化情况来明确问题求解方向，从而可以逐步达到解决问题的目的.

二、与参数问题相关的易错题型及解题技巧

在不等式诸多类型题目中，涉及参数的不等式类型题的求解难度相对较大.考虑到不等式题目中包含有未知参数，需要在实际的求解过程中要求我们认真进行思考和分析，必要的时候需要进行分类讨论方可确保题目求解过程中出现遗漏或者计算重复的问题.纵观高考数学卷中的内容，涉及参数的不等式问题是学生出现解题错误的常见类型题.虽然学生可以明确该类型不等式题目的求解思路，但是在实际的求解过程中却会存在计算错误或者疏漏等问题，此时需要进行一些针对性解题技巧训练方可使学生熟练地掌握解决该类型数学题目的方法和技巧.

例2求不等式（x-1）（x-a）＜0的解.

分析：该道例是一道包含未知参数的不等式方程题型，考查的知识点是对未知参数a的分类讨论，确保解题的全面性，否则很容易使我们出现漏解或者误解的问题.

解：根据二次函数求解的相关性质，可知该道不等式方程问题的求解主要可以划分成三个层次来进行求解，具体主要包括如下几点：①当a＞1时，解为1＜x＜a；②当a=1时，不等式无解；③当a＜1时，解为a＜x＜1.

例3解不等式ax2-2x+1＞0（a为参数，a∈R）.

该题同例题2相同，其也需要对参数a进行分类讨论方可确保解题的全面性和准确性，具体主要划分成a=0、a＜0和a＞0三种情况，且需要在a＞0的情况下对“Δ”值进行区分来进行分别求解.

小结：针对含有参数不等式类型题目的求解关键在于要对未知参数进行分类讨论，确保解题的全面性，避免出现漏解问题，从而可以使我们快速解决有关的数学问题.

三、与高次问题相关的易错题型及解题技巧

高次不等式相关问题也是高中数学中重要的考查内容，解题的易错点主要在于我们容易搞混区域，且无法准确地判断出某些特殊点或者特殊区域，以致于学生在遇到高次不等式问题的时候，常常会心生畏惧，不自然地觉得这些问题非常难以解决，尤其是针对那些我们接触过的高次不等式表达形式会使我们感到非常困惑.而如果我们可以借助因式分解等方法来简化高次不等式问题，那么就可以大大简化有关的数学问题，确保问题的清晰性，同时我们需要掌握高次不等式的一些求解技巧，以便可以使我们可以快速找到解题的突破口，迅速解决问题.

例4求不等式（x-1）（x-2）（x-3）＞0的解.

分析：该道不等式方程是三次，比常见的二次高，也是我们学生不常见的求解问题，此时如果采用传统的公式求解方法，势必无法达到求解的目的.而如果可以借助“穿根法”，通过在数轴上绘制方程的大致图像即可达到求解的目的，方便、准确又快捷，是一种高效解题法.

解：先根据方程的根在数轴上绘制出方程的大致图像（如图2），具体主要包括如下几个步骤：①在数轴上标出3个零点，1、2和3，其将数轴划分成了4个区间；②最右边第一区间为正，以后正负相间，在区间标明正负号；③其中“+”区域表示不等式大于0，“-”区域表示不等式小于0，这样可直观地使学生看出不等式大于0的区域为：1＜x＜2或x＞3，这实际上就是本道例题的求解答案.

图2

小结：“穿根法”求解技巧主要在于绘制出不等式在数轴上的大致情况，按照画数轴→标根→穿线的顺序，且其中穿线顺序为自右向左，这样即可直观判断不等式的大小情况.

四、与绝对值问题相关易错题型及解题技巧

解绝对值不等式类型题目的关键在于采取合理的方法来去掉绝对值，将其转化成我们常见的一元一次或者一元二次不等式来进行求解.而针对那些包含有多个绝对值的复合不等式题目求解，主要采用零点分段法来进行求解，但是如果结合实数绝对值的几何意义来达到快速求解问题的目的.另外，针对某些最值问题，也可以借助绝对值三角不等式来进行求解，但是无论哪种方式，绝对值不等式求解的关键在于“想方设法”将其转化为不含绝对值的式子来进行求解.而具体的转化方法主要包括：绝对值定义法、平方法和零点区域法等.归纳起来，常见的含有绝对值的不等式问题求解主要包括如下四类：（1）形如不等式：|x|＜a（a＞0）的解集为-a＜x＜a；（2）形如不等式：|x|≥a（a＞0）的解集为x≤-a或x≥a；（3）形如不等式：|ax+b|＜c（c＞0）的解法为：先将其转化为不等式组：-c＜ax+b＜c后，按照不等式性质来进行求解；（4）形如不等式：|ax+b|＞c（c＞0）的解法为：先将其转化为不等式组：ax+b＞c或ax+b＜-c，再借助不等式形式求解有关的问题.

例5解不等式|3x-5|≥1.

分析：该道包含绝对值的不等式求解符合第四种类型的方程求解，只需要借助绝对值定义可得3x-5≥1或 3x-5≤-1，解得x≥2或x≤

例6解不等式|x+1|＞|2x-1|.

解析：该道例题不等号左右均涉及绝对值符号，此时可以通过两边同时取平方的方法来达到简化不等式的目的，可得（x+1）2＞（2x-1）2，由此可得0＜x＜2.

五、与恒成立问题相关易错题型及解题技巧

恒成立是高中数学教学中常见的一类问题，其与其他数学知识之间具有很强的联系性，不等式也不例外.实际上，通过对高考试卷中有关不等式恒成立问题进行归纳和分析，可知不等式恒成立问题主要结合抽象函数和数列等方面数学知识来联合出题.该种类型的数学问题是不等式相关类型题中一类比较难的数学题目，具有很强的抽象性，我们高中生在求解的过程中很容易出错.为了可以快速解决该种类型的数学问题，需要充分结合函数、导数、不等式以及单调性等相关性质来进行求解，以便达到快速求解相关数学问题的目的.

例7假设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数.

（1）令g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x）），n为正整数，求gn（x）的表达式；

（2）若f（x）≥ag（x）恒成立，求参数a的取值范围；

（3）假设n为正整数，试比较g（1）+g（2）+…+g（n）与n-f（n）的大小，并加以证明.

分析：该道题目是一道典型的复合型数学题，主要结合函数、导数和不等式来求解闭区间上函数的最值，求解函数单调性情况，具有很强的综合性.解决该道类型题的关键在于进行适当变形或者采用分离变量方法、构造函数、变换主元等方式，借助基本不等式或者函数单调性等性质来达到求解的目的.而其中的最值问题主要是将其转化成基本不等式形式后进行求解；在转化不等式的过程中，要注意合理确定不等号的方向，避免因不等号方向不正确而引发解题错误的出现，具体可以记忆为“一正，二定，三相等”，这样可以帮助我们更好地记忆相关的解题要点，有助于提高我们的解题效能.

除了上述几种易错题型的解题技巧之外，不等式的常见解题技巧主要包括换元法、反证法、性质法和数形结合法.其中的换元法主要是指用某个变量替换有关数学问题中的某个式子整体，以借此来达到简化有关数学问题的目的；反证法则是在无法正推的情况下，借助反推原理来达到解决有关数学问题的目的，其不仅适用于几何问题，也广泛应用于不等式问题的求解中来；性质法则主要是运用不等式的基本性质来达到求解有关不等式数学问题的目的，尤其是其中的特殊值法非常适用于某些不等式类型题的求解中来；数形结合法则主要是将有关的不等式信息以坐标图形的形式展示出来，具有很强的直观性，可以便捷地了解必要的不等式信息，有助于我们更好地求解不等式方面的类型题.但是在选用具体的不等式解题方法的过程中，必须要结合题干信息和具体情况来合理选择，确保所选解题技巧可以满足实际的解题需求，从而帮助我们更好地解决有关的数学问题，避免在求解过程中出错.

总之，不等式是高中数学学习的重要内容，也是高考的热点内容.为了使我们可以有效地解决此类试题，我们需要丰富相关类型题的解题技巧，明确解题中的易错点，然后需要采取针对性解题方法来解决有关数学问题，最后还需要在平时解题过程中注意总结经验，从而为提升我们的解题能力奠定扎实基础.