透过现象看本质解题能力自然高

☉浙江省柯桥中学 卢小玮

数学教学从某种程度上说就是解题的教学.而在我们高三数学教学的课堂上，我们有的数学老师存在着就题论题，满足于完成这一题得出结果，不能够让学生从茫茫的题海中解脱出来，那“一题多解”“多题一解”，透过现象看本质就显得尤为重要了.教师要诱导学生多角度、多层次地思考问题，激活学生思维的发散性和创造性；可以让学生有梯度的深入难点，引导学生将一些经过迁移的交汇知识进行归纳总结，能够提高教学的有效性，提升学生的思维品质.笔者结合平时教学中的几个案例谈谈如何透过现象，挖掘问题的本质.

案例1如图1，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′-CD-B的平面角为α，则（）.

A.∠A′DB≤α

B.∠A′DB≥α

C.∠A′CB≤α

D.∠A′CB≥α

图1

此题是2015年高考浙江卷理科第8题，它的立意是深刻的.很多老师对此进行解读，主要观点是：考查“课标理念——‘直观感知，操作确认，思辨论证，度量计算’的创新试题”，只要动手进行“折纸操作”+“特值法”就能筛选出答案，或者如果直接计算“计算量不是一般的大”；所以不能采取“直接计算方法”，动手进行“折纸操作”+“特值法”从数学思想方面“一般问题”，特殊化处理，这从考试技术上应该说是一个好的方法，但是我们也应该看到，这种方法不是数学教学的真正归宿.笔者经过思考发现，此题其实是一个定理的特殊情况，下面给出该定理并简单证明：

定理若点D是△ABC的边AB上的任意一点（端点A、B除外），沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′-CD-B的平面角为α，则∠A′DB≥α.

证明：如图2，作AM⊥CD，BN⊥CD，垂足分别为M，N，BE∥CD，交AM的延长线于点E，连接EM，EN.

图2

所以∠A′DB≥α.

由此可见，证明也并不复杂，高考题只是定理的特殊情形（m=n）！因此可以看出命题专家所给出的“条件”点D是AB的中点，即AD=BD是多余的！这可能才是本题的真正本质所在！因此作为数学教师，对于自己一时无法解决或难以解决的问题，不能给学生设置“禁区”束缚学生的思维，而应实话实说，给自己和学生都留有思考的“空间”，也只有这样才能培养学生勇于探索的精神，不断提高学生的创新能力.

案例2在△ABC中，G为△ABC的重心，且AG⊥BG，则sinC的最大值为_______.

这是盐城市高三的一道调研试题.考试过后，笔者所任教班级里的学生普遍反映：题目比较陌生，信息量很少，不知道切入点在哪，很茫然.可事实是否真的如学生所说呢？下面笔者给出解决此题的几个切入点.

切入点1：根据垂直的条件AG⊥BG.

根据AG⊥BG这一条件，我们很容易想到建系，将几何问题代数化解决.建立如图3所示的平面直角坐标系.设A（0，a），B（b，0），因为G为重心，易得C点坐标为（-b，-a）.

在建系的前提下，我们又可以尝试以下两种方法：

图3

方法1：利用余弦定理和基本不等式可知，

这两种方法本质上都是建系寻找到点的坐标之间的关系（本质上是三边之间的关系），然后利用余弦定理和基本不等式解决问题.

事实上我们还可以通过以下的两种方法去寻找到三边之间的关系.

方法3：在直角△AGB、△AGE、△BGD、△DGE中，分别利用勾股定理易得BC2+AC2=5AB2，再用余弦定理和基本不等式易得结果.

从上面这些方法我们可以发现，抓住垂直这一条件，结合平时处理垂直的常用手法，可以从多个方向进行突破.

切入点2：G为△ABC的重心.

图4

方法5：如图4，因为G为△ABC的重心，

题目中给出的条件也一样.G为△ABC的重心和AG⊥BG这两个条件也不应该是孤立的条件.

切入点3：G为△ABC的重心和AG⊥BG合二为一.

我们知道对于重心还有一个比较重要的几何性质：DG∶GA=1∶2.

将AG⊥BG这一条件和圆中的知识联系起来就有了如下的几何方法：如图5所示，不妨设小圆和大圆的半径分别为1和3，点C为大圆上一点，连接OC交小圆于点G，则△ABC即为满足题意的三角形.题目即转化为点C在圆上运动时，要使角C最大，由著名的米勒定理可知，当过点A，B的圆与点C的轨迹即大圆相切时，角C最大.

图5

图6

如图6所示，显然当点C在y轴上时，角C最大，此时易得sinC=

横看成岭侧成峰，透过现象看本质，形成探究意识，培养探究能力.通过上面这些解决问题的切入点和方法的选择，我们发现在平时的教学中应该鼓励学生多从条件入手，结合常见的处理方法认真分析条件，努力寻找问题的突破口.

（1）求椭圆的方程；

（2）设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：|AN|·|BM|为定值.（2016年北京高考理科第19题）

解析几何较欧氏几何，最大的优势是把“运动变化引入数学”，使我们实现了“用坐标刻画运动”这一基本代数手段来研究几何问题的设想.直线与圆锥曲线位置关系中的运动变化，一般点或直线远动变化是根源，如果我们很好地把握了这个根源，选择好从点入手还是从直线入手，就能很好地简化计算过程，快速地解决此问题.

图7

（2）证明：由（1）知，A（2，0），B（0，1），设P（x0，y0），则x

当x0≠0时，直线PA的方程为

令y=0，得xN=-

当x0=0时，|BM|=2，|AN|=2，|AN|·|BM|=4.

本题中，|AN|和|BM|是两个变量，要我们证明在这个变化过程中|AN|·|BM|为定值，如何证明这个事实？显然要把|AN|和|BM|用某种变量表示出来，在通过代数运算得出|AN|·|BM|为定值，那么引入什么变量？研究本题发现，|AN|和|BM|两个量随点P的变化而变化，点P的运动变化是本题中其他所有量发生变化的根源，所以我们设P（x0，y0），将点M，N的坐标用x0，y0表示出来，从而用x0，y0表示|AN|·|BM|，在根据P（x0，y0）在椭圆上，从而得出| AN|·|BM|为定值.

（2）证明：设P（x0，y0），直线PA的方程为y=k（x-2）代入+y2=1，得（1+4k2）x2-16k2x+16k2-4=0，

所以2+x0=

所以x0=

在解法2中，采取从直线PA入手，引入直线PA的斜率k，直线方程与椭圆方程联系，根据一元二次方程根与系数的关系将点P的坐标用直线PA的斜率k表示，再用k表示M，N的坐标，从而实现用k表示|AN|·|BM|，最后通过代数恒等变形得出|AN|·|BM|为定值.本证法是解决圆锥曲线综合问题的常用方法，思路自然方法熟悉，不过与证法1对比此法运算量较大，学生得分效果不好.纵观圆锥曲线综合问题一般有设点和设直线两种解法，在确定解题思路时要体会解析几何的知识本质，从产生运动变化的根源入手，题目确定从点入手还是从直线入手，这样可以很好地优化解题过程，简化计算.

总之，在高中教学中，我们教师要立足课本，回归课本.从最近几年的高考试题和高三的模拟试题中可以发现，有很多题目都有一定的本质，都能在可以在课本上找到原型.故我们要强化对课本典型例题、习题的研究，不能简单地就题论题，要注重引导学生进行一题多解、一题多变、一题多解，追根溯源，引导学生从不同的角度去观察问题、思考问题，从而使学生的思维从单一走向多维，提高课堂的高效，优化他们的思维.