2016年高考数列压轴题的四种新题型分析

☉福建省宁德市民族中学 郑一平

高考数列为什么一直得到许多命题者的青睐，常被作为高考压轴题考查学生数学解题能力和综合素质.这是由于数列既是高中数学的主干知识，又是学习高等数学的基础，既具有函数的特征，又能构成独特的递推关系，因此成为高考考查的热点问题且常以压轴题形式出现.从2016年全国10种高考试卷中的数列试题可以看出，由过去单纯考查数列知识或递推数列问题转化为在知识交汇上做文章，其位置或排在前三题或作为压轴题.若作为前三题出现，一般难度不大，主要考查基础知识和基本技能与简单的知识应用.若作为压轴题常设计了许多层次恰当、合理的综合性问题，使数列与高中阶段相关知识相结合，并以数列知识为载体注重考查数学推理能力和分析解决问题的能力，尤其考查学生对数学问题的理解水平和数学核心素养，成为学生数学高考能否得高分的风向标.这与数学教育从“双基”到“三维目标”直至今天的“核心素养”十分吻合，而且将成为今后高考命题的新常态.因此分析2016年全国高考数列压轴题的新特点，对于做好数列教学与复习，促进学生数列知识的掌握、解题能力的提高和数学核心素养的形成都有重要意义.

一、与绝对值不等式交汇型综合题

（1）求证：|an|≥2n-1（|a1|-2）（n∈N）*；

（2）若|an|≤（）n，n∈N*，证明：|an|≤2，n∈N*.

分析：由于条件涉及绝对值不等式，从绝对值不等式性质作为思考方向，（1）考虑绝对值不等式性质|an|-结合条件进行求和；（2）可利用（1）的推理过程与结果，结合放缩法达到求解目的.

因此|an|≥2n-1（|a1|-2），n∈N*.

（2）任取n∈N*，由（1）知，对于任意m＞n，

从而对于任意m＞n，均有|an|＜2+）m·2n.

由m的任意性得|an|≤2.①

否则，存在n0∈N*，有|an0|＞2，取正整数且m0＞n0，

综上，对于任意n∈N*，均有|an|≤2.

评析：本题是浙江数学理科高考压轴题，对能力要求较高，主要考查数列的递推关系与单调性、绝对值不等式性质等基础知识和推理论证能力、分析问题和解决问题的能力.关键是如何利用所学的绝对值知识结合条件进行变形、放缩、合情推理，进而达到求解目的.

二、新定义型数列综合性问题

新定义数列问题主要给出了数列新定义一种运算、概念（如一种符号、一种图形等）、一种性质等，由过去单纯考查数列知识或递推数列问题以及在知识交汇上做文章，变为设计层次恰当、合理的新问题，使数列与高中阶段相关知识相结合，并以数列知识为载体注重考查数学推理能力和分析解决问题的能力，要求学生在短时间内理解试题所给的新型定义，能将所学知识与方法迁移到不同情境中，进而考查学生的理性思维和数学素养.

例2（2016上海高考理科压轴题）若无穷数列｛an｝满足：只要ap=aq（p，q∈N*），必有ap+1=aq+1，则称｛an｝具有性质P.

（1）若｛an｝具有性质P，且a1=1，a2=2，a4=3，a5=2，a6+a7+ a8=21，求a3；

（2）若无穷数列｛bn｝是等差数列，无穷数列｛cn｝是公比为正数的等比数列，b1=c5=1，b5=c1=81，an=bn+cn判断｛an｝是否具有性质P，并说明理由；

（3）设｛bn｝是无穷数列，已知an+1=bn+sinan（n∈N*）.求证：“对任意a1，｛an｝都具有性质P”的充要条件为“｛bn｝是常数列”.

分析：本题是上海卷的压轴题，主要通过定义无穷数列｛an｝的某种性质，要求利用数列和有关知识进行分析、推理，考查推理论证、分析与解决问题的能力.

解：（1）因为a5=a2，所以a6=a3，a7=a4=3，a8=a5=2.

于是a6+a7+a8=a3+3+2，又因为a6+a7+a8=21，解得a3=16.

nnn20（n-1）=20n-19，cn=81·）n-1=35-n.

∴an=bn+cn=20n-19+35-n.a1=a5=82，但a2=48，a6=，a2≠a6，

所以｛an｝不具有性质P.

（3）证明：充分性：当｛bn｝为常数列时，an+1=b1+sinan.对任意给定的a1，只要ap=aq，则由b1+sinap=b1+sinaq，必有ap+1=aq+1.充分性得证.

必要性：用反证法证明.假设｛bn｝不是常数列，则存在k∈N*，使得b1=b2=…=bk=b，而bk+1≠b.下面证明存在满足an+1=bn+sinan的｛an｝，使得a1=a2=…=ak+1，但ak+2≠ak+1.

设f（x）=x-sinx-b，取m∈N*，使得mπ＞|b|，则

f（mπ）=mπ-b＞0，f（-mπ）=-mπ-b＜0，故存在c使得f（c）=0.

取a1=c，因为an+1=b+sinan（1≤n≤k），所以a2=b+sinc= c=a1，

依此类推，得a1=a2=…=ak+1=c.

但ak+2=bk+1+sinak+1=bk+1+sinc≠b+sinc，即ak+2≠ak+1.

所以｛an｝不具有性质P，矛盾.必要性得证.

综上，“对任意a1，｛an｝都具有性质Ρ”的充要条件为“｛bn｝是常数列”.

评析：本问题（Ⅰ）与（Ⅱ）比较简单，问题（Ⅲ）有一定的难度，关键必需掌握充要条件问题的证明方法.涉及充要条件问题需从充分性和必要性两方面进行推理，特别在证明必要性时直接思考难以证明，能考虑用反证法进行证明，整个过程要求有较好的基础知识和较强的推理证明能力.

三、与集合相关的综合题

例3（2016江苏高考压轴题）记U=｛1，2，…，100｝.对数列｛an｝（n∈N*）和U的子集T，若T=φ，定义ST=0；若T=｛t1，t2，…，tk｝，定义ST=at1+at2+…+atk.例如：T=｛1，3，66｝时，ST=a1+a3+a66.现设｛an｝（n∈N*）是公比为3的等比数列，且当T=｛2，4｝时，ST=30.

（1）求数列｛an｝的通项公式；

（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T⊆｛1，2，…，k｝，求证：ST＜ak+1；

（3）设C⊆U，D⊆U，SC≥SD，求证：SC+SC∩D≥2SD.

分析：本题新定义了数列与集合间的某种关系，要求根据新定义处理给出条件的有关问题，考查运用新知识分析解决问题能力（.1）根据及时定义，列出等量关系Sr=a2+a4=3a1+27a1=30a1，解出首项a1=1，根据等比数列通项公式写出通项公式（.2）数列不等式证明，一般是以算代征，而非特殊数列一般需转化到特殊数列，便于求和，本题根据子集关系，先进行放缩为一个等比数列Sr≤a1+ a2+…+ak=1+3+…+3k-1再利用等比数列求和公式得Sr≤（3k-1）＜3k（.3）利用等比数列和与项的大小关系，确定所定义和的大小关系：设A=C（CC∩D），B=C（DC∩D），则A∩B=φ，因此由SC≥SD⇒SA≥SB，因此A∪B中最大项必在A中，由（2）得SA≥2SB⇒SC-SC∩D≥2（SD-SC∩D）⇒SC+SC∩D≥2SD，（2）为（3）搭好台阶，只要挖掘其蕴含关系，利用分类讨论的方法则不难解决.

解：（1）由已知得an=a·13n-1，n∈N*.

于是当T=｛2，4｝时，Sr=a2+a4=3a1+27a1=30a1.

又Sr=30，故30a1=30，即a1=1.

所以数列｛an｝的通项公式为an=3n-1，n∈N*.

（2）证明：因为T⊆｛1，2，…，k｝，an=3n-1＞0，n∈N*，所以Sr≤a1+a2+…+ak=1+3+…+3k-1=（3k-1）＜3k.因此，Sr＜ak+1.

（3）证明：由条件结合集合间的关系，考虑分三种情况证明.

①D是C的子集，则SC+SC∩D=SC+SD≥SD+SD=2SD.

②C是D的子集，则SC+SC∩D=SC+SC=2SC≥2SD.

③D不是C的子集，且C不是D的子集.

令E=C∩CUD，F=D∩CUC，则E≠φ，F≠φ，E∩F=φ.

于是SC=SE+SC∩D，SD=SF+SC∩D，进而由SC≥SD，得SE≥SF.

设k是E中的最大数，l为F中的最大数，则k≥1，l≥1，k≠l.

由（2）知，SE＜ak+1，于是3l-1=al≤SF≤SE＜ak+1=3k，所以l-1＜k，即l≤k.

又k≠l，故l≤k-1，

故SE≥2SF+1，所以SC-SC∩D≥2（SD-SC∩D）+1，

即SC+SC∩D≥2SD+1.

综合①②③知，SC+SC∩D≥2SD.

评析：本小题主要考查接受新知识能力，引入新定义，要求利用新定义结合条件和集合概念解决相

关问题，过程涉及分类探索、判断推理等重要思想方法.试题立意新颖，突出创新能力和数学阅读能力，考查灵活运用知识分析问题和解决问题能力，具有选拔性质.

四、与相关知识交汇的综合题

试题似乎考数列但又不单纯为数列，尤其注意在知识交汇处考查，设计了许多层次恰当、合理的综合性问题，使数列与高中阶段相关知识相结合，特别是数列与不等式等知识相结合，考查不等式证明的方法、技巧.

例4（2016年四川高考理）已知数列｛an｝的首项为1，Sn为数列｛an｝的前n项和，Sn+1=qSn+1，其中q＞0，n∈N*.

（1）若2a2，a3，a2+2成等差数列，求an的通项公式；（2）设双曲线x2-=1的离心率为en，且e2=，证明：

分析：本题也是属于中档题，难度不大.问题（1）由条件Sn+1=qSn+1，利用n≥2，an=sn-sn-1的关系可求得通项an关于q的关系式，再结合条件2a2，a3，a2+2成等差数列可求得an；问题（2）考查数列与解析几何交汇问题，由条件易求得与q的关系式，又=可求得q进而得到e，再结n合放缩法求得结果.

解：（1）由已知，Sn+1=qSn+1，Sn+2=qSn+1+1，两式相减得到an+2=qan+1，n≥1.

又由S2=qS1+1得到a2=qa1，故an+1=qan对所有n≥1都成立.

所以，数列｛an｝是首项为1，公比为q的等比数列.从而an=qn-1.

由2a2，a3，a2+2成等比数列，可得2a3=3a2+2，即2q2= 3q+2，，则（2q+1）（q-2）=0，

由已知，q＞0，故q=2.所以an=2n-1（n∈N*）.

（2）由（1）可知，an=qn-1.所以双曲线x2-的离心率

评析：本题（1）考查数列通项与前n项和之间的关系，如何利用这种关系求通项；（2）则把数列与解析几何知识相结合，考查知识间的联系，尤其是如何根据条件把等量关系转化为不等量关系，通过放缩方法达到求解目的.

总之，高考数列问题的新题型是根据考查数学核心素养和能力的需要，教学中要用联系的观点培养学生的综合能力，不断寻求数列与相关知识间新颖巧妙的联系与组合，特别是加强对数列与整数的性质、集合关系、不等式等问题联系，不断提高逻辑推理能力和分析解决问题能力，要用变化创新的思想去分析解决出现的新题型，使数列知识常考常新.

蔡旦燕.源于课本回归本质——对一道高考题的解题探究与拓展延伸［J］.中学数学（上），2016（10）.